qu’autant qu’il y aura au moins un des facteurs qui changera de signe ; et même il est aisé de voir que, si plus d’un facteur changeait de signe, il faudrait que le nombre en fût impair. Ainsi, si et sont les deux valeurs de qui rendent le facteur par exemple, de signe différent, il faudra que, si est plus grand que soit plus petit, ou réciproquement donc la racine tombera nécessairement entre les deux quantités et
À l’égard des racines imaginaires, s’il y en a dans l’équation, comme il est démontré qu’elles sont toujours deux à deux de la forme
si et sont imaginaires, le produit des facteurs et sera
quantité toujours positive, quelque valeur qu’on donne d’où il suit que les changements de signe ne peuvent venir que des racines réelles. Mais, comme le théorème sur la forme des racines imaginaires ne se démontre rigoureusement qu’au moyen de cet autre théorème, que toute équation d’un degré impair a nécessairement une racine réelle, théorème dont la démonstration générale dépend elle-même de la proposition qu’il s’agit de démontrer, il s’ensuit que cette démonstration peut être regardée comme une espèce de cercle vicieux, et qu’il était nécessaire d’y en substituer une autre à l’abri de toute atteinte.
Mais il y a une manière plus générale et plus simple de considérer les équations, laquelle a l’avantage de faire voir à l’oeil même les propriétés principales des équations. Elle est fondée sur une espèce d’application de la Géométrie à l’Algèbre, qui mérite d’autant plus de vous être exposée, qu’elle a des usages très-étendus dans toutes les parties des Mathématiques.
Reprenons l’équation générale proposée ci-dessus, et représentons par des lignes droites toutes les valeurs successives qu’on pourrait donner à l’inconnue ainsi que les valeurs correspondantes que recevra le
