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D’où l’on conclura entin que toutes les racines réelles positives seront nécessairement comprises entre les limites

${\frac {1}{\mathrm {K} +1}}\quad {\text{et}}\quad k+1,$

et que les racines réelles négatives tomberont entre les limites

$-{\frac {1}{\mathrm {H} +1}}\quad {\text{et}}\quad -h-1.$

On a des méthodes pour trouver des limites plus resserrées ; mais, comme elles exigent quelque tâtonnement, la précédente est préférable, dans la plupart des cas, comme plus simple et plus commode.

Par exemple, si, dans l’équation proposée, on substitue $l+z$ à la place de $x,$ et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissances de $z,$ on donne à $l$ une valeur telle que les coefficients de tous les termes deviennent positifs, il est visible qu’il n’y aura alors aucune valeur positive de $z$ qui puisse satisfaire à cette équation elle n’aura donc plus que des racines négatives ; par conséquent $l$ sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de $x$. Or il est aisé de voir que ces coefficients seront exprimés ainsi

$p+ml,$

$q+(m-1)pl+{\frac {m(m-1)}{2}}l^{2},$

$r+(m-2)ql+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}pl^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}l^{3},$

et ainsi de suite, et il n’y aura qu’à chercher, en tâtonnant, la plus petite valeur de $l,$ qui les rendra tous positifs.

Mais il ne suffit pas le plus souvent d’avoir les limites des racines d’une équation, on a besoin de connaître les valeurs mêmes des racines, du moins d’une manière aussi approchée que les circonstances du problème peuvent le demander ; car chaque problème conduit en dernière analyse a une équation qui en renferme la solution ; et, si l’on n’a pas