des moyens de résoudre cette équation, tout le calcul qu’on a fait est en pure perte. On peut donc regarder ce point comme le plus important de toute l’Analyse, et, par cette raison, j’ai cru devoir en faire l’objet principal de cette Leçon. Il suit des principes établis plus haut sur la nature de la courbe dont les ordonnées représententtoutes les valeurs du premier membre d’une équation que, si l’on avait un moyen de la décrire, on aurait tout de suite, par ses intersections avec l’axe, toutes les racines de l’équation proposée ; mais il n’est pas nécessaire d’avoir pour cela la courbe entière il suffit de connaître les parties qui sont de part et d’autre de chaque intersection. Or on peut trouver autant de points de chaque courbe que l’on veut, aussi proches entre eux qu’on voudra, en substituant successivement pour différents nombres assez voisins l’un de l’autre, et en prenant pour les résultats de ces substitutions dans le premier membre de l’équation. Si, dans la suite de ces résultats, il s’en trouve deux de signes contraires, on sera assuré, par les principes posés ci-dessus, qu’il y aura au moins une racine réelle entre les deux valeurs de qui les ont donnés ; alors on pourra, par de nouvelles substitutions, resserrer ces deux limites et approcher aussi près qu’on voudra de la racine cherchée.
En effet, si l’on nomme la plus petite et la plus grande des deux valeurs de qui ont donné des résultats de signes contraires, et qu’on demande la valeur de la racine exacte au nombre près, étant une fraction aussi petite qu’on voudra, on substituera successivement à la place de les nombres en progression arithmétique
ou
jusqu’à ce qu’on arrive à un résultat de signe contraire à celui de la substitution de ou de alors les deux valeurs successives de qui auront donné des résultats de signes contraires seront nécessairement l’une plus grande et l’autre plus petite que la racine cherchée ; et comme ces valeurs ne diffèrent par l’hypothèse que du nombre il s’ensuit que
