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chacune d’elles approchera de la racine plus que de là quantité $n,$ de sorte que l’erreur sera moindre que $n$.

Mais comment déterminer les premières valeurs à substituer pour $x\,;$ de sorte que, d’un côté, on ne fasse pas trop de tâtonnements inutiles, et que de l’autre on soit assuré de découvrir par ce moyen toutes les racines réelles de l’équation ? En considérant la courbe de l’équation, il est aisé de voir que tout se réduit à prendre les valeurs telles, qu’il y en ait au moins une qui tombe entre deux intersections voisines, ce qui arrivera nécessairement si la différence entre deux valeurs consécutives est moindre que la plus petite distance entre deux intersections voi\sin\varepsilons.

Ainsi, supposant que $\mathrm {D}$ soit une quantité plus petite que la plus petite distance entre deux intersections qui se suivent immédiatement, on formera la progression arithmétique

$0,\quad \mathrm {D,\quad 2D,\quad 3D,\quad 4D} ,\quad \ldots ,$

et l’on ne prendra de cette progression que les termes qui tomberont entre les limites

${\frac {1}{\mathrm {K} +1}}\quad {\text{et}}\quad k+1,$

déterminées par la méthode donnée ci-dessus ; on aura les valeurs qui, étant substituées pour $x,$ feront connaître toutes les racines pôsitives de l’équation, et donneront en même temps les premières limites de chaque racine. On formera de même pour les racines négatives la progression

$0,\quad \mathrm {-D,\quad -2D,\quad -3D,\quad -4D} ,\quad \ldots ,$

dont on ne prendra que les termes contenus entre les limites

$-{\frac {1}{\mathrm {H} +1}}\quad {\text{et}}\quad -h-1.$

Voilà la difficulté résolue ; mais il s’agit de trouver la quantité $\mathrm {D} ,$ par la condition qu’elle soit plus petite que le plus petit intervalle entre deux intersections voisines de la courbe avec l’axe. Comme les abscisses qui répondent aux intersections sont les racines mêmes de l’équation pro-