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et de mêmes

$b^{m}+pb^{m-1}+qb^{m-2}+\ldots +u=0.$

Soit $b-a=i,$ donc $b=a+i\,;$ substituons cette valeur deb dans la seconde équation, et si, après avoir développé par la formule connue les différentes puissances de $a+i,$ on ordonne l’équation résultante suivant les puissances de $i,$ en commençant par les moins hautes, on aura une transformée de cette forme

$\mathrm {P} +\mathrm {Q} i+\mathrm {R} i^{2}+\ldots +i^{m}=0,$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&a^{m}+pa^{m-1}+qa^{m-2}+\ldots +u,\\\mathrm {Q} =&ma^{m-1}+(m-1)pa^{m-2}+(m-2)qa^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {R} =&{\frac {m(m-1)}{2}}a^{m-2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}pa^{m-3}+{\frac {(m-2)(m-3)}{2}}qa^{m-4}+\ldots .\end{aligned}}$

et ainsi de suite, la loi des termes étant visible.

Or, par la première équation en $a,$ on a $\mathrm {P} =0\,;$ donc, effaçant le terme $\mathrm {P}$ de l’équation en $i,$ et divisant tous les autres par $i,$ elle ne montera plus qu’au degré $m-1,$ et sera par conséquent

$\mathrm {Q} +\mathrm {R} i+\mathrm {S} ^{2}+\ldots +i^{m-1}=0.$

Cette équation aura donc pour racines les $m-1$ différences entre la racine $a$ et les autres racines $b,c,\ldots .$ De même, si l’on substitue $b$ à la place de $a$ dans les expressions des coefficients $\mathrm {Q,R} ,\ldots ,$ on aura l’équation dont les racines seront les différences entre la racine $b$ et les autres racines $a,c,\ldots ,$ et ainsi de suite.

Donc, si l’on peut trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de toutes ces équations, elle aura la condition demandée, et pourra être prise pour la quantité $\mathrm {D}$ dont on cherche la valeur.

Si l’on éliminait $a$ de l’équation en $i,$ au moyen de l’équation $\mathrm {P} =0,$ on aurait une équation en $i$ qui renfermerait toutes celles dont nous venons de parler, et dont il n’y aurait qu’à chercher la plus petite racine.