et de mêmes
![{\displaystyle b^{m}+pb^{m-1}+qb^{m-2}+\ldots +u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cb0f6b208a25ec352e7921415cbd897e3e671b)
Soit
donc
substituons cette valeur deb dans la seconde équation, et si, après avoir développé par la formule connue les différentes puissances de
on ordonne l’équation résultante suivant les puissances de
en commençant par les moins hautes, on aura une transformée de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {P} +\mathrm {Q} i+\mathrm {R} i^{2}+\ldots +i^{m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a5f13e4dcc73117cf3ab0958b6fb9d059c8515)
dans laquelle on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&a^{m}+pa^{m-1}+qa^{m-2}+\ldots +u,\\\mathrm {Q} =&ma^{m-1}+(m-1)pa^{m-2}+(m-2)qa^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {R} =&{\frac {m(m-1)}{2}}a^{m-2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}pa^{m-3}+{\frac {(m-2)(m-3)}{2}}qa^{m-4}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372df68336d8bad768c4939c0a0529694ee4bc6e)
et ainsi de suite, la loi des termes étant visible.
Or, par la première équation en
on a
donc, effaçant le terme
de l’équation en
et divisant tous les autres par
elle ne montera plus qu’au degré
et sera par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {Q} +\mathrm {R} i+\mathrm {S} ^{2}+\ldots +i^{m-1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d181cc8a88d5346af88e1811c69b0f0a709cc65c)
Cette équation aura donc pour racines les
différences entre la racine
et les autres racines
De même, si l’on substitue
à la place de
dans les expressions des coefficients
on aura l’équation dont les racines seront les différences entre la racine
et les autres racines
et ainsi de suite.
Donc, si l’on peut trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de toutes ces équations, elle aura la condition demandée, et pourra être prise pour la quantité
dont on cherche la valeur.
Si l’on éliminait
de l’équation en
au moyen de l’équation
on aurait une équation en
qui renfermerait toutes celles dont nous venons de parler, et dont il n’y aurait qu’à chercher la plus petite racine.