Mais cette équation simple en ne serait autre chose que l’équation des différences dont on voudrait se passer.
Faisons, dans l’équation ci-dessus en on aura cette transformée en
et le plus grand coefficient négatif de cette équation donnera, par ce qui a été démontré plus haut, une valeur plus grande que sa plus grande racine ; de sorte qu’en nommant ce plus grand coefficient, sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de par conséquent, sera une quantité plus petite que la plus petite valeur positive de et l’on trouvera de même une quantité plus petite que la plus petite valeur négative de Ainsi l’on pourra prendre pour la plus petite de ces deux quantités, ou une quantité quelconque plus petite que l’une et l’autre.
Pour avoir un résultat plus simple et indépendantdes signes, on peut réduire la question à trouver une quantité plus grande que chacun des coefficients de l’équation en abstraction faite des signes, et il est clair que, si l’on trouve une quantité plus petite que la plus petite valeur de et une quantité plus grande que la plus grande valeur de chacune des quantités abstraction faite des signes, on pourra prendre
Commençons par chercher les valeurs de Il n’est pas difficile de prouver par les principes établis ci-dessus que, si est, comme plus haut, la limite des racines positives, et la limite des racines négatives de l’équation proposée, et qu’on substitue successivement dans les expressions de à la place de et en ne tenant compte que des termes qui auront le même signe que le premier, on aura des quantités plus grandes que les plus grandes valeurs positives et négatives de répondant aux racines de l’équation proposée ; de sorte qu’on pourra prendre pour la plus grande de ces différentes quantités, abstraction faite des signes.
