Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/267

Il ne restera donc plus qu’à trouver une valeur plus petite que la plus petite de $\mathrm {Q} \,;$ or il ne paraît pas qu’on puisse y parvenir autrement que par le moyen de l’équation dont les différentes valeurs de $\mathrm {Q}$ seraient les racines, équation qui ne peut êtré que le résultat de l’élimination de $a$ entre ces deux-ci

$a^{m}+pa^{m-1}+qa^{m-2}+\ldots +u,$

$ma^{m-1}+(m-1)pa^{m-2}+(m-2)qa^{m-3}+\ldots =\mathrm {Q} .$

Il est aisé de démontrer, par la théorie connue de l’élimination, que l’équation résultante en $\mathrm {Q}$ ne sera que du degré $m,$ c’est-à-dire du même degré que la proposée, et l’on peut démontrer aussi par la forme des racines de cette équation qu’elle manquera de son pénultième terme. Si donc on cherche, par la méthode donnée plus haut, une quantité plus petite, abstraction faite du signe, que la plus petite racine de cette équation, cette quantité pourra être prise pour $\mathrm {N} \,;$ ainsi le problème est résolu moyennant une équation d’un même degré que la proposée. Voici à quoi la solution se réduit ; je conserveraipour plus de simplicité la lettre $x$ à la place de $a.$

Étant proposée l’équation du degré $m,$

$x^{m}+px^{m-1}+qx^{m-2}+rx^{m-3}+\ldots =0,$

soit $k$ le plus grand coefficient des termes négatif, et $m-n$ l’exposant de $x$ dans le premier terme négatif ; soit de même $h$ le plus grand coefficient des termes de signes contraires au premier, en changeant $x$ en $-x,$ et $m-n'$ l’exposant de $x$ dans le premier terme de signe contraire au premier ; on fera

$f={\sqrt[{n}]{k+1}}\quad {\text{et}}\quad g={\sqrt[{n}]{h+1}},$

et l’on aura d’abord $f$ et $-g$ pour les limites des racines positives et négatives. On substituera successivement ces limites à la place de $x$ dans les formules suivantes, en n’ayant égard qu’aux termes qui se trou-