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Au reste, comme la recherche de l’équation en $y$ peut être pénible par les méthodes ordinaires d’élimination, voici des formules générales dont la démonstration dépend des propriétés connues des équations.

On formera d’abord, d’après les coefficients $p,q,r,\ldots$ de la proposée, les quantités $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ de cette manière :

${\begin{aligned}x_{1}&=-p,\\x_{2}&=-px_{1}-2q,\\x_{3}&=-px_{2}-qx_{1}-3r,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On substituera dans l’expression de $y,$ dans celles de $y^{2},$ de $y^{3},\ldots ,$ jusqu’à $y^{m},$ après le développement des termes en $x,$ les quantités $x_{1}$ pour $x,$ $x_{2}$ pour $x^{2},$ $x_{3}$ pour $x^{3},\ldots ,$ et l’on désignera par $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$ les valeurs de $y,y^{2},y^{3},\ldots$ résultant de ces substitutions.

Alors on n’aura plus qu’à former les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ par les formules

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=y_{1},\\\mathrm {B} &={\frac {\mathrm {A} y_{1}-y_{2}}{2}},\\\mathrm {C} &={\frac {\mathrm {B} y_{1}-\mathrm {A} y_{2}+y_{3}}{3}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura cette équation en $y$

$y^{m}-\mathrm {A} y^{m-1}+\mathrm {B} y^{m-2}-\mathrm {C} y^{m-3}+\ldots =0.$

La valeur ou plutôt la limite de $\mathrm {D} ,$ qu’on trouvera par la méthode que nous venons d’exposer, pourra être souvent beaucoup plus petite qu’il ne serait nécessaire pour faire découvrir toutes les racines ; mais il n’y aura à cela d’autre inconvénient que d’augmenter le nombre des substitutions successives à faire pour $x$ dans la proposée. D’ailleurs, lorsqu’on a trouvé autant de résultats qu’il y a d’unités dans l’exposant du degré de l’équation, on peut les continuer aussi loin qu’on veut par la simple addition des différences premières, secondes, etc., parce que