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contenterons de remarquer ici que la quantité dont il s’agit sera la plus petite ou un minimum, lorsque

${\frac {x}{a-x}}={\sqrt[{3}]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$

de sorte qu’on aura

$x={\frac {a{\sqrt[{3}]{\mathrm {M} }}}{{\sqrt[{3}]{\mathrm {M} }}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {N} }}}},$

et de là on trouvera, pour la plus petite valeur de la quantité dont il s’agit,

${\frac {\left({\sqrt[{3}]{\mathrm {M} }}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {N} }}\right)^{3}}{a^{2}}}\,;$

par conséquent, il y aura deux valeurs réelles de $x$ si cette quantité est moindre que $\mathrm {A} \,;$ mais ces valeurs seront imaginaires si elle est plus grande. Le cas de l’égalité donnera deux valeurs de $x$ égales entre elles.

Je me suis un peu étendu sur l’analyse de ce Problème, qui n’est, au reste, que de pure curiosité, parce qu’elle peut servir pour tous les cas semblables.

L’équation du Problème précédent, étant délivrée des fractions, sera de cette forme

$\mathrm {A} x^{2}(a-x)^{2}-\mathrm {M} (a-x)^{2}-\mathrm {N} x^{2}=0,$

laquelle, étant développée et ordonnée, montera au quatrième degré, et aura par conséquent quatre racines ; ainsi, par l’analyse que nous venons de donner, on pourra connaître tout de suite la nature de ces racines. Comme il peut résulter de là une méthode applicable à toutes les équations du quatrième degré, nous allons en dire un mot en passant. Soit donc l’équation générale

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0\,;$

on a déjà vu que, si son dernier terme est négatif, elle aura nécessairement deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative ; mais, si ce terme est positif, on n’en peut rien conclure en général sur la nature