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de ses racines. Qu’on donne à cette équation la forme

$\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}+b(x+a)^{2}+c(x-a)^{2}=0,$

laquelle, étant développée, devient

$x^{4}+\left(b+c-2a^{2}\right)x^{2}+2a(b-c)x+a^{4}+a^{2}(b+c)=0\,;$

d’où l’on tire, en comparant les termes,

$b+c-2a^{2}=p,\quad 2a(b-c)=q,\quad a^{4}+a^{2}(b+c)=r,$

et de là

$b+c=p+2a^{2},\quad b-c={\frac {q}{2a}},\quad 3a^{4}+pa^{2}=r\,;$

de sorte qu’en résolvant cette dernière équation, on aura

$a^{2}=-{\frac {p}{6}}+{\sqrt {{\frac {r}{3}}+{\frac {p^{2}}{36}}}}.$

Or nous supposons ici $r$ positif ; donc $a^{2}$ sera réel positif, et par conséquent $a$ réel ; donc aussi $b$ et $c$ seront réels.

Ayant donc déterminé de cette manière les trois quantités $a,b,c$, on aura la transformée

$\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}+b(x+a)^{2}+c(x-a)^{2}=0.$

Si l’on fait le second membre de cette équation $=y,$ et qu’on considère la courbe dont $x$ seront les abscisses et $y$ les ordonnées, il est d’abord visible que, lorsque $b$ et $c$ seront des quantités positives, cette courbe sera toute au-dessus de l’axe ; par conséquent l’équation n’aura aucune racine réelle. Supposons, en second lieu, que $b$ soit une quantité négative, et $c$ une quantité positive ; alors $x=a$ donnera $y=4ba^{2},$ quantité négative ; ensuite $x$ très-grand positif et négatif donneront $y$ très-grand positif ; d’où il est aisé de conclure que l’équation aura deux racines réelles, l’une plus grande que $a,$ et l’autre moindre que $-a.$ On trouvera de même que, si $b$ est positif et c négatif, l’équation aura