nativement positives et négatives ; c’est-à-dire que ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la quantité
De plus, comme
(hyp.), on aura
![{\displaystyle b>\mathrm {B} _{1},\quad \mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A_{1}>B_{1}\gamma +A_{1}>C_{1},\quad \mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B_{1}>C_{1}\delta +B_{1}>D_{1}} } ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08598c9a400a072b2adaf775b8aeaf8fbe83ede7)
et comme
on aura
![{\displaystyle b<\mathrm {B} _{1}+1,\quad \mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A_{1}<B_{1}(\gamma +1)+A_{1}<C_{1}+B_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8621d30a23ee3fd525718aa99aecf086b75892ec)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B_{1}<C_{1}(\delta +1)+B_{1}<D_{1}+C_{1}} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7c6db3c7c250dd060b1f89c253594025c282ad)
de sorte que les erreurs qu’on commettrait en prenant les fractions
pour la valeur de
seraient respectivement moindres que
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{A_{1}B_{1}}},\quad {\frac {1}{B_{1}C_{1}}},\quad {\frac {1}{C_{1}D_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad514547ca18768b37a58b02bc40be5c80afefe)
mais plus grandes que
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{A_{1}(B_{1}+A_{1})}},\quad {\frac {1}{B_{1}(C_{1}+B_{1})}},\quad {\frac {1}{C_{1}(D_{1}+C_{1})}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7a9ccf5b97a1034c725e87f43e90887362d1d5)
d’où l’on voit combien ces erreurs sont petites, et combien elles vont en diminuant d’une fraction à l’autre.
Mais il y a plus : puisque les fractions
sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité
il est clair que la valeur de cette quantité se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques ; or nous avons vu ci-dessus (no 12) qu’il est impossible qu’entre deux telles fractions puisse se trouver une autre fraction quelconque qui ait un dénominateur moindre que l’un de ceux de ces deux fractions ; d’où l’on peut conclure que chacune des fractions dont il s’agit exprime la quantité
plus exactement que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque, dont le dénominateur serait plus petit que celui de la fraction suivante ; c’est-à-dire que la frac-