pondent aux huit solutions dont le Problème est susceptible, et, lorsqu’on n’a aucune donnée particulière par laquelle on puisse déterminer laquelle de ces solutions convient au cas proposé, il est indispensable de les chercher toutes, en employant pour chacune des huit combinaisons une courbe particulière des erreurs. Mais, si l’on sait, par exemple, que la distance de l’observateur au second objet est plus grande ou plus petite que sa distance au premier, il ne faudra prendre alors dans la ligne que le point dans le premier cas, ou le point dans le second, ce qui diminuera les huit combinaisons de moitié. Si l’on avait la même donnée sur le troisième objet, relativement au second, et sur le premier, relativement au troisième, alors les points et seraient déterminés, et l’on n’aurait qu’une solution unique.
Ces deux Exemples peuvent suffire pour montrer l’usage de la méthode de ces courbes dans la résolution des Problèmes ; mais cette méthode, que nous n’avons présentée que d’une manière pour ainsi dire mécanique, peut aussi être soumise à l’Analyse.
En effet, tout se réduit à décrire ou faire passer une courbe par plusieurs points, soit que ces points soient donnés par le calcul ou par une construction, ou même par des observations ou des expériences isolées et indépendantes les unes des autres. Ce Problème est, à la vérité, indéterminé car on peut, à la rigueur, faire passer par des points donnés une infinité de courbes différentes, régulières ou irrégulières, c’est-à-dire soumises à des équations, ou tracées arbitrairement à la main ; mais il ne s’agit pas de trouver des solutions quelconques, mais les plus simples et les plus aisées à employer.
Ainsi, s’il n’y avait que deux points donnés, la solution la plus simple serait une ligne droite qu’on mènerait par ces points. S’il y a trois points, on pourrait faire passer par ces points un arc de cercle, qui est, après la droite, la ligne la plus facile à décrire.
Mais, si le cercle est la courbe la plus simple par sa description, elle ne l’est pas par son équation entre les abscisses et les ordonnées rectangles. Sous ce dernier point de vue, on peut regarder comme les plus simples les courbes dont l’ordonnée est exprimée par une fonction en-
