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Soit

${\frac {\mathrm {Q-P} }{q-p}}=\mathrm {Q} _{1},\quad {\frac {\mathrm {R-Q} }{r-q}}=\mathrm {R} _{1},\quad {\frac {\mathrm {S-R} }{s-r}}=\mathrm {S} _{1},\quad \ldots \,;$

on trouvera de la même manière, par la soustraction et la division,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {R_{1}-Q_{1}} }{r-p}}&=c+d(r+q+p)+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {S_{1}-R_{1}} }{s-q}}&=c+d(s+r-q)+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soit de même

${\frac {\mathrm {R_{1}-Q_{1}} }{r-p}}=\mathrm {R} _{2},\quad {\frac {\mathrm {S_{1}-R_{1}} }{s-q}}=\mathrm {S} _{2},\quad \ldots \,;$

on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {S_{2}-R_{2}} }{s-q}}&=d+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On trouve, de cette manière, les valeurs des coefficients $a,b,c,\ldots ,$ à commencer par les dernières, et, les substituant dans l’équation générale

$y=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots ,$

il viendra, après les réductions, cette formule, qu’il est aisé de continuer aussi loin qu’on voudra,

$y=\mathrm {P} +\mathrm {Q} _{1}(x-p)+\mathrm {R} _{2}(x-p)(x-q)+\mathrm {S} _{3}(x-p)(x-q)(x-r)+\ldots .$

Mais on peut réduire cette solution à une plus grande simplicité par la considération suivante.

Puisque $y$ doit devenir $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ lorsque $x$ devient $p,q,r,\ldots ,$ il est aisé de voir que l’expression de $y$ sera de cette forme

$y=\mathrm {AP+BQ+CR+DS} +\ldots ,$

où les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ doivent être exprimées en $x,$ de manière