Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/30

tion $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ par exemple, exprimera la valeur de $a$ plus exactement que toute autre fraction ${\frac {m}{n}},$ dans laquelle $n$ serait $<\mathrm {D} _{1}.$

15. Si les valeurs approchées $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont toutes ou en partie plus grandes que les véritables, alors parmi ces nombres il y en aura nécessairement de négatifs (n^o 3), ce qui rendra aussi négatifs quelques-uns des termes des séries $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} ,\ldots \,;$ par conséquent les différences entre les fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,\ldots$ et la quantité $a$ ne seront plus alternativement positives et négatives, comme dans le cas du numéro précédent ; de sorte que ces fractions n’auront plus l’avantage de donner toujours des limites en plus et en moins de la quantité $a,$ avantage qui me paraît d’une très-grande importance, et qui doit par conséquent faire préférer toujours dans la pratique les fractions continues où les dénominateurs seront tous positifs. Ainsi nous ne considérerons plus dans la suite que des fractions de cette espèce.

16. Considérons donc la série

$\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}},\quad {\frac {D}{D_{1}}}} ,\quad \ldots ,$

dans laquelle les fractions sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité $a,$ et il est clair qu’on pourra partager cette série en ces deux-ci

${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}},\quad {\frac {E}{E_{1}}}} ,\quad \ldots ,\\&\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}},\,\quad {\frac {D}{D_{1}}},\quad {\frac {F}{F_{1}}}} ,\quad \ldots \,;\end{aligned}}$

la première sera composée de fractions toutes plus petites que $a,$ et qui iront en augmentant vers la quantité $a\,;$ la seconde sera composée de fractions toutes plus grandes que $a,$ mais qui iront en diminuant vers cette même quantité. Examinons maintenant chacune de ces deux