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On démontrera de la même manière, par l’équation $\mathrm {C} b-\mathrm {A} n=\pm \mathrm {D} ,$ que l’on aura dans tous les cas $n<b+1,$ et ainsi de suite.

Lorsque les dénominateurs $a,b,\ldots$ sont donnés, et qu’on détermine les numérateurs $m,n,\ldots$ de manière que les restes des divisions de $\mathrm {B} a,\mathrm {C} b,\ldots$ par $\mathrm {A}$ soient positifs, alors il résulte de la démonstration précédente qu’on aura nécessairement $m<a,\ n<b,\ p<c,\ldots .$

6. En substituant successivement les valeurs de $\mathrm {{\frac {C}{A}},{\frac {D}{A}}} ,\ldots ,$ on aura cette suite de transformées

${\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}}\\&={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} ab}}\\&={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {A} abc}}\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il faut remarquer, à l’égard des signes ambigus, que le premier est le même que celui du premier reste ; que le second doit être le produit de ceux des deux premiers restes ; que le troisième doit être le produit de ceux des trois premiers restes, et ainsi de suite.

Ces transformations ont l’avantage de réduire la fraction donnée à une suite de fractions décroissantes dont les numérateurs ou les dénominateurs soient donnés, et qui approchent le plus qu’il est possible de la fraction donnée.

7. Si les dénominateurs $a,b,c,\ldots$ sont supposés donnés et tous égaux entre eux, alors la série prend cette forme plus simple

$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{a^{2}}}\pm {\frac {p}{a^{3}}}\pm \ldots ,$

et il est facile de voir que si l’on fait $a=10,$ et qu’on prenne tous restes positifs, c’est-à-dire, qu’on fasse toutes les divisions en dedans comme