Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/31

séries en particulier dans la première on aura (n^os 10 et 12)

${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {A}{A_{1}}}={\frac {\gamma }{A_{1}C_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {E}{E_{1}}}\ -{\frac {C}{C_{1}}}={\frac {\varepsilon }{C_{1}E_{1}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et dans la seconde on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}}-{\frac {D}{D_{1}}}={\frac {\delta }{D_{1}B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {D}{D_{1}}}\ -{\frac {F}{F_{1}}}={\frac {\zeta }{D_{1}F_{1}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si les nombres $\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\ldots$ étaient tous égaux à l’unité, on pourrait prouver, comme dans le n^o 12, qu’entre deux fractions consécutives quelconques de l’une ou de l’autre des séries précédentes il ne pourrait jamais se trouver aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que ceux de ces deux fractions ; mais il n’en sera pas de même lorsque les nombres $\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\ldots$ seront différents de l’unité ; car dans ce cas on pourra insérer entre les fractions dont il s’agit autant de fractions intermédiaires qu’il y aura d’unités dans les nombres $\gamma -1,\ \delta -1,\ \varepsilon -1,\ldots ,$ et pour cela il n’y aura qu’à mettre successivement dans les valeurs de $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} _{1}$ (n^o 10) les nombres $1,2,3,\ldots ,\gamma$ à la place de $\gamma \,;$ et de même, dans les valeurs de $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} _{1},$ les nombres $1,2,3,\ldots ,\delta$ à la place de $\delta$, et ainsi de suite.

17. Supposons, par exemple, que $\gamma =4,$ on aura

$\mathrm {C=4B+A,\quad C_{1}=4B_{1}+A_{1}} ,$

et l’on pourra insérer entre les fractions $\mathrm {\frac {A}{A_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}}$ trois fractions intermédiaires, qui seront

$\mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}} .$