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est plus grand, puisque leur différence est ${\frac {1}{\mathrm {A} a}},$ abstraction faite du signe ; donc, si l’on prend $a>{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ cette différence sera la plus petite et $<{\frac {2}{\mathrm {A} ^{2}}}.$

17. L’équation $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,$ à laquelle doivent satisfaire les nombres $m$ et $a,$ fait voir de plus :

1^o Que ces nombres seront nécessairement premiers entre eux, en sorte que la fraction ${\frac {m}{a}}$ sera déjà réduite à ses moindres termes ; car s’ils avaient un diviseur autre que l’unité, il faudrait qu’il divisât aussi le second membre de l’équation, ce qui ne se peut ;

2^o Qu’il est impossible qu’entre les deux fractions $\mathrm {\frac {B}{A}}$ et ${\frac {m}{a}}$ il tombe aucune autre fraction, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand que $\mathrm {A} \,;$ car supposons qu’il existe une fraction comme ${\frac {\mu }{\alpha }},$ dont la valeur puisse tomber entre celles de ces deux fractions, et dont le dénominateur $\alpha$ soit $<\mathrm {A} ,$ il faudra donc que la différence entre les deux fractions ${\frac {\mu }{\alpha }}$ et ${\frac {m}{a}}$ soit moindre que la différence entre les fractions $\mathrm {\frac {B}{A}}$ et ${\frac {m}{a}}\,;$ mais la première de ces différences est ${\frac {\mu a-\alpha m}{\alpha a}},$ et la seconde est $\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}.$ Or il est clair que le nombre $\mu a-\alpha m$ ne peut pas être moindre que l’unité ; et, comme $\alpha <\mathrm {A}$ par l’hypothèse, il s’ensuit, au contraire, que la première différence sera toujours nécessairement plus grande que la seconde.

18. Si la fraction ${\frac {m}{a}}$ est encore exprimée en termes trop grands, on pourra la rabaisser de la même manière, puisque les nombres $m$ et a sont aussi premiers entre eux.

On cherchera donc deux autres nombres $n$ et $b,$ moindres respectivement que $m$ et $a,$ qui satisfassent à l’équation $mb-an=\pm 1,$ et