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l’on aura

${\frac {m}{a}}={\frac {n}{b}}\pm {\frac {1}{ab}}.$

De la même manière, si l’on cherche encore d’autres nombres $p$ et $c,$ moindres que $n$ et $b,$ et qui soient tels que l’on ait $nc-bp=\pm 1,$ on aura aussi

${\frac {n}{b}}={\frac {p}{c}}\pm {\frac {1}{bc}},$

et ainsi de suite.

Ces nouvelles fractions ${\frac {n}{b}},{\frac {p}{c}},\ldots ,$ seront aussi réduites à leurs moindres termes, et seront exprimées en termes toujours plus petits ; de manière qu’entre deux fractions consécutives de la série $\mathrm {\frac {B}{A}} ,{\frac {m}{a}},{\frac {n}{b}},{\frac {p}{c}},\ldots$ il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur serait entre les dénominateurs de ces deux fractions (17). D’où il s’ensuit que cette série de fractions contiendra toutes les fractions qui, étant successivement exprimées en termes moindres que la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}} ,$ approcheront plus de celle-ci que ne pourrait faire toute autre fraction qui ne serait pas exprimée en plus grands termes.

19. Supposons que les nombres $a,b,c,d,\ldots ,$ $m,n,p,q,\ldots$ soient pris de manière que les signes supérieurs ou les signes inférieurs aient constamment lieu dans les équations

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=&\pm 1,\qquad &mb-an=&\mp 1,\qquad &nc-bp=&\pm 1,\\pd\,-\ cq\ \ =&\mp 1,&qe\ -\,dr=&\pm 1,&{\text{etc}}.\,;\qquad &\end{alignedat}}$

on aura, en conservant la même loi des signes, les approximations

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {\frac {B}{A}} =&{\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}},\qquad &{\frac {m}{a}}=&{\frac {n}{b}}\mp {\frac {1}{ab}},\qquad &{\frac {n}{b}}=&{\frac {p}{c}}\pm {\frac {1}{bc}},\\{\frac {p}{c}}=&\,{\frac {q}{d}}\ \mp {\frac {1}{cd}},&{\frac {q}{d}}=&\,{\frac {r}{e}}\pm {\frac {1}{de}},&{\text{etc}}.&\,;\end{alignedat}}$

qui sont, comme l’on voit, alternativement en plus et en moins.