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Il est clair que les dénominateurs de ces fractions forment une suite croissante arithmétiquement depuis $\mathrm {A} ,$ jusqu’à $\mathrm {C} _{1},$ et nous allons voir que les fractions elles-mêmes croissent aussi continuellement depuis $\mathrm {\frac {A}{A_{1}}}$ jusqu’à $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ en sorte qu’il serait maintenant impossible d’insérer dans la série

$\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {4B+A}{4B_{1}+A_{1}}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {C}{C_{1}}}}$

aucune fraction dont la valeur tombât entre celles de deux fractions consécutives, et dont le dénominateur se trouvât aussi entre ceux des mêmes fractions. Car, si l’on prend les différences entre les fractions précédentes, on aura, à cause de $\mathrm {BA_{1}-AB_{1}} =1,$

${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}-{\frac {A}{A_{1}}}={\frac {1}{A_{1}(B_{1}+A_{1})}}} ,\\&\mathrm {{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}={\frac {1}{(B_{1}+A_{1})(2B_{1}+A_{1})}}} ,\\&\mathrm {{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}-{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}={\frac {1}{(2B_{1}+A_{1})(3B_{1}+A_{1})}}} ,\\&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}={\frac {1}{(3B_{1}+A_{1})C_{1}}}} \,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit d’abord que les fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\ {\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}} ,\ldots$ vont en augmentant, puisque leurs différences sont toutes positives ; ensuite, comme ces différences sont égales à l’unité divisée par le produit des deux dénominateurs, on pourra prouver, par un raisonnement analogue celui que nous avons fait dans le n^o 12, qu’il est impossible qu’entre deux fractions consécutives de la série précédente il puisse tomber une fraction quelconque ${\frac {m}{n}},$ si le dénominateur $n$ tombe entre les dénominateurs de ces fractions, ou, en général, s’il est plus petit que le plus grand des deux dénominateurs.

De plus, comme les fractions dont nous parlons sont toutes plus