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grandes que la vraie valeur de $a,$ et que la fraction $\mathrm {\frac {B}{B_{1}}}$ en est plus petite, il est évident que chacune de ces fractions approchera de la quantité $a,$ en sorte que la différence en sera plus petite que celle de la même fraction et de la fraction $\mathrm {\frac {B}{B_{1}}} \,;$ or on trouve

${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{A_{1}B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(2B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(3B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{C_{1}B_{1}}}} .\end{aligned}}$

Donc, puisque ces différences sont aussi égales à l’unité divisée par le produit des dénominateurs, on y pourra appliquer le même raisonnement du n^o 12, pour prouver qu’aucune fraction ${\frac {m}{n}}$ ne saurait tomber entre une quelconque des fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\ {\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\ {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}} ,\ldots$ et la fraction $\mathrm {\frac {B}{B_{1}}} ,$ si le dénominateur $n$ est plus petit que celui de la même fraction ; d’où il suit que chacune de ces fractions approche plus de la quantité $a$ que ne pourrait faire toute autre fraction plus petite que $a,$ et qui aurait un dénominateur plus petit, c’est-à-dire ; qui serait conçue en termes plus simples.

18. Nous n’avons considéré dans le numéro précédent que les fractions intermédiaires entre $\mathrm {\frac {A}{A_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} \,;$ il en sera de même des fractions intermédiaires entre $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {E}{E_{1}}} ,$ entre $\mathrm {\frac {E}{E_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {G}{G_{1}}} ,\ldots ,$ si $\varepsilon ,\eta ,\ldots$ sont des nombres $>1.$