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On peut aussi appliquer à l’autre série

$\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {D}{D_{1}}},\quad {\frac {F}{F_{1}}}} ,\quad \ldots$

tout ce que nous venons de dire relativement à la première série

$\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}}} ,\quad \ldots .$

de sorte que, si les nombres $\delta ,\zeta ,\ldots$ sont $>1,$ on pourra insérer entre les fractions $\mathrm {\frac {B}{B_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} ,$ entre $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {F}{F_{1}}} ,\ldots$ différentes fractions intermédiaires toutes plus grandes que $a,$ mais qui iront continuellement en diminuant, et qui seront telles, qu’elles exprimeront la quantité $a$ plus exactement que ne pourrait faire aucune autre fraction plus grande que $a,$ et qui serait conçue en termes plus simples.

De plus, si $\beta$ est aussi un nombre $>1,$ on pourra pareillement placer avant la fraction $\mathrm {\frac {B}{B_{1}}}$ les fractions $\mathrm {{\frac {A+1}{1}},\ {\frac {2A+1}{2}},\ {\frac {3A+1}{3}}} ,\ldots$ jusqu’à ${\frac {\beta \mathrm {A} +1}{\beta }},$ savoir $\mathrm {\frac {B}{B_{1}}} \,;$ et ces fractions auront les mêmes propriétés que les autres fractions intermédiaires.

De cette manière, on aura donc ces deux suites complètes de fractions convergentes vers la quantité $a.$

Fractions croissantes et plus petites que $a.$

$\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}} ,\quad \ldots ,$

${\begin{array}{llllll}\mathrm {\cfrac {\gamma B+A}{\gamma B_{1}+A_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {C}{C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {D+C}{D_{1}+C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {2D+C}{2D_{1}+C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {3D+C}{3D_{1}+C_{1}}} ,&\ldots ,\\\mathrm {\cfrac {\varepsilon D+C}{\varepsilon D_{1}+C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {E}{E_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {F+E}{F_{1}+E_{1}}} ,&\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots .\end{array}}$