Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/335

curieux de connaître ce rapport constant et de voir s’il dépend aussi, comme dans les triangles rectilignes, du rayon du cercle circonscrit ou de l’aire du triangle.

Désignons de même par $a,b,c$ les trois côtés d’un triangle sphérique, et par $\mathrm {A,B,C}$ les trois angles opposés à ces côtés ; on aura, par le théorème connu,

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \mathrm {A} \,;$

donc

$\cos \mathrm {A} ={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}},$

et de là

$\sin \mathrm {A} ={\frac {\sqrt {\sin ^{2}b\sin ^{2}c-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}}{\sin b\sin c}},$

Faisons, pour abréger,

$f={\sqrt {\sin ^{2}b\sin ^{2}c-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}}\,;$

on aura

$\sin \mathrm {A} ={\frac {f}{\sin b\sin c}}\,;$

donc

${\frac {\sin a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\sin a\sin b\sin c}{f}},$

expression du rapport cherché, analogue à celle qu’on a trouvée pour les triangles rectilignes (1).

Comme la quantité $f$ est exprimée par un radical carré et peut, par conséquent, avoir le signe plus et moins, nous remarquerons que, relativement aux triangles sphériques, elle doit toujours être prise positivement, parce que, les côtés et les angles de tout triangle étant toujours moindres que deux droits, leurs sinus sont nécessairement toujours positifs.

4. La quantité radicale $f$ est aussi susceptible de réductions analogues à celles du n^o 2.