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Car en substituant pour $\sin ^{2}b$ et $\sin ^{2}c$ leurs valeurs en cosinus $1-\cos ^{2}b,$ $1-\cos ^{2}c,$ et réduisant, on aura

$f={\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}},$

où l’on voit que les trois côtés $a,b,c$ entrent également.

On peut de même résoudre la quantité sous le signe en facteurs. En effet, on aura d’abord

${\begin{aligned}\sin ^{2}b&\sin ^{2}c-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}\\&=(\sin b\sin c+\cos a-\cos b\cos c)(\sin b\sin c-\cos a+\cos b\cos c)\\&=\left[\cos a-\cos(b+c)\right]\left[\cos(b-c)-\cos a\right].\end{aligned}}$

Or on a en général

$\cos a-\cos h=2\sin {\frac {a+h}{2}}\sin {\frac {h-a}{2}}\,;$

donc, décomposant ainsi les deux facteurs, on aura

$f=2{\sqrt {\sin {\frac {a+b+c}{2}}\sin {\frac {a-b+c}{2}}\sin {\frac {a+b-c}{2}}\sin {\frac {-a+b+c}{2}}}},$

expression très-commode pour le calcul logarithmique.

5. Cherchons maintenant le rayon du cercle circonscrit au triangle sphérique. Il est évident que ce cercle ne peut être qu’un petit cercle de la sphère, et qu’il sera aussi circonscrit au triangle rectiligne formé par les trois cordes des arcs $a,b,c.$ Or, ces cordes étant exprimées par $2\sin {\frac {a}{2}},2\sin {\frac {b}{2}},$ $2\sin {\frac {c}{2}},$ il n’y aura qu’à les substituer au lieu de $a,b,c$ dans l’expression du rayon $r$ (2), c’est-à-dire, dans ${\frac {abc}{d}}.$

Nommons $\mathrm {R}$ le rayon de ce cercle circonscrit, et $h$ ce que devient la quantité $d$ par les substitutions dont il s’agit ; on aura

$\mathrm {R} ={\frac {8\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{h}}.$