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Or on a

${\begin{aligned}h^{2}=&32\left(\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right)^{2}+32\left(\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {c}{2}}\right)^{2}+32\left(\sin {\frac {b}{2}}\sin {\frac {c}{2}}\right)^{2}\\&-16\left(\sin {\frac {a}{2}}\right)^{4}-16\left(\sin {\frac {b}{2}}\right)^{4}-16\left(\sin {\frac {c}{2}}\right)^{4}\,;\end{aligned}}$

et, substituant pour $2\left(\sin {\frac {a}{2}}\right)^{2},\ 2\left(\sin {\frac {b}{2}}\right)^{2},\ 2\left(\sin {\frac {c}{2}}\right)^{2},$ leurs valeurs $1-\cos a,\ 1-\cos b,\ 1-\cos c,$ on aura, après les réductions,

${\begin{aligned}h^{2}=12&-8\cos a-8\cos b-8\cos c+8\cos a\cos b+8\cos a\cos c+8\cos b\cos c\\&-4\cos 2a-4\cos 2b-4\cos 2c,\end{aligned}}$

expression qu’on peut réduire à celle-ci

$4f^{2}+8(1-\cos a)(1-\cos b)(1-\cos c),$

c’est-à-dire à

$4f^{2}+64\left(\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\sin {\frac {c}{2}}\right)^{2},$

en substituant le valeur de $f$ du n^o 4. Ainsi l’on aura

$\mathrm {R} ={\frac {4\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{\sqrt {f^{2}+16\left(\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}\right)^{2}}}}.$

6. Maintenant, si l’on considère le rayon de la sphère qui passe par le centre du petit cercle circonscrit, il est visible que ce rayon sera perpendiculaire au plan de ce cercle, et qu’il aboutira au point de la surface qui sera le pôle du même cercle. Donc, en nommant $\varphi$ l’arc qui mesure la distance du pôle à la circonférence du même cercle, on aura évidemment $\mathrm {R} =\sin \varphi \,;$ donc

$\sin \varphi ={\frac {4\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{\sqrt {f^{2}+\left(4\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}\right)^{2}}}}\,;$