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d’où l’on tire

$\cos \varphi ={\frac {f}{\sqrt {f^{2}+\left(4\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}\right)^{2}}}},$

et de là

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {4\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{f}}.$

Donc, puisque $\sin a=2\sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {a}{2}},$ et ainsi des autres sinus, on aura (3)

${\frac {\sin a}{\sin \mathrm {A} }}=2\operatorname {tang} \varphi \cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}\cos {\frac {c}{2}}.$

7. Si l’on voulait avoir l’aire du triangle rectilignes inscrit dans le petit cercle dont il s’agit, et formé par les cordes des arcs $a,b,c,\ldots$ en nommant $\mathrm {S}$ cette surface, il n’y aurait qu’à changer dans la formule $s={\frac {abc}{4r}}$ du n^o 1, $s$ en $\mathrm {S} ,$ $r$ en $\mathrm {R}$ et $a,b,c$ en $2\sin {\frac {a}{2}},2\sin {\frac {b}{2}},2\sin {\frac {c}{2}},$ ce qui donnerait sur-le-champ

$\mathrm {S} ={\frac {2\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{\mathrm {R} }},$

ou bien, à cause de $\mathrm {R} =\sin \varphi$ (6),

$\mathrm {S} ={\frac {2\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{\sin \varphi }}.$

Si maintenant on considère la pyramide triangulaire qui a ce triangle pour base, et dont le sommet est au centre de la sphère, il est visible que la hauteur de cette pyramide sera donc sa solidité sera ${\frac {\mathrm {S} \cos \varphi }{3}}\,;$ ou bien, mettant pour $\mathrm {S}$ la valeur qu’on vient de trouver,

${\frac {2\sin {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {b}{2}}\sin {\cfrac {c}{2}}}{3\operatorname {tang} \varphi }},$