un système complet de formules trigonométriques, fondé uniquement sur trois équations. Mais ne pourrait-on pas simplifier encore ce système, en le réduisant à une seule équation fondamentale ?
Cette réduction servirait à perfectionner la théorie analytique des triangles sphériques ; car, dans l’Analyse, la perfection consiste à n’employer que le moindre nombre possible de principes, et à faire sortir de ces principes toutes les vérités qu’ils peuvent renfermer, par la seule force de l’Analyse ; dans la méthode synthétique des lignes, elle consiste au contraire à démontrer isolément chaque proposition, de la manière la plus simple, à l’aide des propositions déjà démontrées.
Feu de Gua avait déjà eu l’idée de faire dépendre toute la Trigonométrie sphérique d’une seule propriété générale des triangles sphériques ; mais le Mémoire qu’il a donné sur ce sujet dans le volume de l’Académie des Sciences de 1783 contient des calculs si compliqués, qu’ils paraissent plus propres à montrer les inconvénients de sa méthode qu’à la faire adopter.
Je me propose ici le même objet, et je vais présenter un tableau succinct de toutes les formules de la Trigonométrie sphérique, en les déduisant, par de simples transformations, d’une seule équation donnée par la nature des triangles sphériques.
14. Nous partirons, comme l’a fait de Gua, de l’équation (3)
dans laquelle sont les trois côtés ou arcs du triangle, et est l’angle opposé au côté
Cette équation se démontre facilement par la seule considération des deux triangles rectilignes formés, l’un par les deux tangentes des arcs et et par la droite qui joint les extrémités de ces tangentes, et l’autre par cette même droite et par les deux sécantes des mêmes arcs ; car il est évident que les deux tangentes forment entre elles l’angle compris entre les arcs et et que les deux sécantes forment entre elles l’angle qui est le côté du triangle sphérique opposé à l’angle
