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Ainsi, nommant $h$ le côté commun à ces deux triangles, on aura sur-le-champ, par le théorème connu sur les triangles rectilignes, l’équation

$h^{2}=\operatorname {tang} ^{2}b+\operatorname {tang} ^{2}c-2\operatorname {tang} b\operatorname {tang} c\cos \mathrm {A}$

pour le premier triangle, et l’équation

$h^{2}=\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}b+\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}b-2\operatorname {s{\acute {e}}c} b\operatorname {s{\acute {e}}c} c\cos a$

pour le second triangle.

De là on tire

$\operatorname {tang} ^{2}b+\operatorname {tang} ^{2}c-2\operatorname {tang} b\operatorname {tang} c\cos \mathrm {A} =\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}b+\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}b-2\operatorname {s{\acute {e}}c} b\operatorname {s{\acute {e}}c} c\cos a.$

Or on a évidemment $\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}b-\operatorname {tang} ^{2}b=1,$ et de même $\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}c-\operatorname {tang} ^{2}c=1\,;$ donc l’équation deviendra

$\operatorname {s{\acute {e}}c} b\operatorname {s{\acute {e}}c} c\cos a=1+\operatorname {tang} b\operatorname {tang} c\cos \mathrm {A} \,;$

substituant pour $\operatorname {s{\acute {e}}c} b,\operatorname {s{\acute {e}}c} c,\operatorname {tang} b,\operatorname {tang} c$ leurs valeurs ${\frac {1}{\cos b}},{\frac {1}{\cos c}},$${\frac {\sin b}{\cos b}},$${\frac {\sin c}{\cos c}},$ et multipliant par $\cos b\cos c,$ on aura l’équation fondamentale

(A)

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \mathrm {A} .$

Comme, par l’hypothèse, il n’y a entre les quatre quantités $a,b,c,\mathrm {A} ,$ d’autre condition si ce n’est que $a,b,c$ soient les trois côtés du triangle, et $\mathrm {A}$ l’angle opposé au côté $a,$ il s’ensuit qu’en nommant $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ les angles opposés aux côtés $b$ et $c,$ on aura des équations semblables relativement à ces angles, en changeant seulement $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B}$ ou en $\mathrm {C} ,$ pourvu qu’on change en même temps $a$ en $b$ ou en $c.$

15. Maintenant, si l’on tire de l’équation précédente la valeur de $\cos \mathrm {A} ,$ et qu’on en forme celle de $\sin \mathrm {A} ,$ on aura, comme on l’a déjà trouvé dans le n^o 3,

${\frac {\sin a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\sin a\sin b\sin c}{f}},$

où la quantité $f$ est une fonction de $a,b,c,$, dans laquelle ces trois quan-