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1^o Pour déterminer $\mathrm {A}$ par $a,b,\mathrm {B} ,$ on aura

$(e)\qquad \qquad \qquad \qquad \sin \mathrm {A} ={\frac {\sin a\sin \mathrm {B} }{\sin b}}.$

2^o Pour déterminer $a$ par $b,\mathrm {A,B} ,$ on aura

$(f)\qquad \qquad \qquad \qquad \sin \alpha ={\frac {\sin b\sin \mathrm {A} }{\sin \mathrm {B} }}.$

Ces formules n’ont besoin d’aucune transformation pour l’application des logarithmes.

23. L’équation (C) entre deux côtés $a$ et $b,$ et deux angles $\mathrm {A,C} ,$ le premier opposé, le second adjacent au côté $a,$ peut servir : 1^o à déterminer $\mathrm {A}$ par $a,b,\mathrm {C} \,;$ 2^o à déterminer $a$ par $b,\mathrm {A,C} \,;$ 3^o à déterminer $\mathrm {C}$ par $a,b,\mathrm {A} \,;$ 4^o à déterminer $b$ par $a,\mathrm {A,C} .$

1^o Pour déterminer $\mathrm {A}$ par $a,b,\mathrm {C} ,$ on aura l’équation

$\cot \mathrm {A} ={\frac {\cot a\sin b}{\sin c}}-\cot \mathrm {C} \cos b\,;$

et, pour la réduire en facteurs, on fera ${\frac {\cot a}{\cos \mathrm {C} }}=\cot \varphi ,$ ou bien

$(g)\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} a\cos \mathrm {C} =\operatorname {tang} \varphi \,;$

donc $\cot a=\cos \mathrm {C} \cot \varphi \,;$ et, substituant cette valeur, on aura

${\begin{aligned}\cot \mathrm {A} &=\cot \mathrm {C} (\cot \varphi \sin b-\cos b)\\&={\frac {\cot \mathrm {C} }{\sin \varphi }}(\cos \varphi \sin b-\sin \varphi \cos b)={\frac {\cot \mathrm {C} \sin(b-\varphi )}{\sin \varphi }}\,;\end{aligned}}$

donc

$(h)\qquad \qquad \qquad \qquad \cot \mathrm {A} ={\frac {\cot \mathrm {C} \sin(b-\varphi )}{\sin \varphi }}.$

Cette réduction revient aussi à diviser le triangle en deux rectangles par une perpendiculaire abaissée de l’angle $\mathrm {B}$ sur le côté opposé $b\,;$ et l’angle subsidiaire $\varphi$ est le segment de ce côté adjacent à l’angle $\mathrm {C} .$