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2^o Pour déterminer $a$ par $b,\mathrm {A,C} ,$ on aura l’équation

$\cot a={\frac {\cot \mathrm {A} \sin \mathrm {C} }{\sin b}}+\cot b\cos \mathrm {C} ,$

et, pour la réduire en facteurs, on fera

$(i)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\cot \mathrm {A} }{\cos b}}=\operatorname {tang} \varphi \,;$

donc, substituant dans l’équation pour $\cot \mathrm {A}$ sa valeur $\operatorname {tang} \varphi \cos b,$ on aura

${\begin{aligned}\cot a&=\cot b(\sin \mathrm {C} \operatorname {tang} \varphi +\cos \mathrm {C} )\\&={\frac {\cot b}{\cos \varphi }}(\sin \mathrm {C} \sin \varphi +\cos \mathrm {C} \cos \varphi )={\frac {\cot b\cos(\mathrm {C} -\varphi )}{\cos \varphi }}\,;\end{aligned}}$

donc

$(k)\qquad \qquad \qquad \qquad \cot a={\frac {\cot b\cos(\mathrm {C} -\varphi )}{\cos \varphi }}.$

Cette réduction revient encore à diviser le triangle en deux rectangles, en abaissant une perpendiculaire de l’angle $\mathrm {C}$ sur le côté $c,$ et l’angle subsidiaire $\varphi$ est le segment de l’angle $\mathrm {C}$ adjacent au côté $b$.

3^o Pour déterminer $\mathrm {C}$ par $a,b,\mathrm {A} ,$ il faudrait tirer de l’équation (C) la valeur de $\sin \mathrm {C}$ ou de $\cos \mathrm {C}$ par la résolution d’une équation du second degré, et l’on aurait une expression qui contiendrait un radical. Mais la transformation précédente est également utile pour résoudre ces cas ; car, ayant trouvé l’angle par l’équation $(i)$, l’équation $(h)$ donnera

$(l)\qquad \qquad \qquad \qquad \cos(\mathrm {C} -\varphi )={\frac {\cot a\cos \varphi }{\cot b}}.$

4^o Enfin, pour déterminer $b$ par $a,\mathrm {A,C} ,$ il faudrait aussi tirer de la même équation (C) la valeur de $\sin b$ ou $\cos b$ par la résolution d’une équation du second degré. Mais la transformation employée pour le premier-cas servira aussi pour résoudre celui-ci ; car, ayant trouvé l’angle