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qu’ayant réduit en série les sinus et cosinus de ces angles, on rejette les termes qui s’évanouissent par la supposition de ${\frac {1}{r}}=0,$ on aura le cas des triangles rectilignes, dans lesquels $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les côtés et $\mathrm {A,B,C}$ les angles opposés.

Ainsi, si $\mathrm {V} =0$ est une équation entre les sinus et cosinus de $a,b,c$ et de $\mathrm {A,B,C} ,$ on substituera, pour $\sin a,$ ${\frac {\alpha }{r}}-{\frac {\alpha ^{3}}{2.3t^{3}}}+\ldots \,;$ pour $\cos a,$ $1-{\frac {\alpha ^{2}}{2r^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2.3.4r^{4}}}+\ldots ,$ et pour $\sin b,\cos b,\sin c,\cos c$ des valeurs pareilles, en changeant $\alpha$ en, $\beta ,\gamma ,$ et réduisant en série suivant les puissances descendantes de $r,$ ce qui donnera

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {P} }{r^{m}}}+{\frac {\mathrm {Q} }{r^{m+1}}}+{\frac {\mathrm {R} }{r^{m+2}}}+\ldots ,$

on aura pour le triangle rectiligne l’équation $\mathrm {P} =0$ ; car l’équation $\mathrm {V} =0$ donne, en multipliant par $r^{m},$

$\mathrm {P} +{\frac {\mathrm {Q} }{r}}+{\frac {\mathrm {R} }{r^{2}}}+\ldots =0,$

et, faisant ${\frac {1}{r}}=0,$ on a $\mathrm {P} =0.$

On pourrait de cette manière déduire les règles de la Trigonométrie rectiligne des équations fondamentales de la Trigonométrie sphérique ; mais cela n’aurait d’utilité que comme exercice de calcul, puisque ce serait démontrer le simple par le composé nous nous contenterons de remarquer que l’équation (D) du n^o 17 donne tout de suite celle-ci

$\mathrm {\cos A=\sin B\sin C-\cos B\cos C} ,$

savoir

$\mathrm {\cos A=-\cos(B-C)} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {A=2D-B-C,\quad {\text{c’est-à-dire,}}\quad A+B+C=2D} ,$

$\mathrm {D}$ étant l’angle droit ; ce qui est la propriété connue des triangles rectilignes.