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27. Maintenant, si le rayon $r$ de la sphère, au lieu d’être infiniment grand, est seulement très-grand, le triangle sphérique ne deviendra pas rectiligne, mais en approchera très-près ; et dans ce cas, comme les angles $a,b,c$ qui répondent aux côtés deviennent très-petits, les Tables trigonométriques ordinaires n’offriraient plus une précision suffisante pour le calcul des côtés et des angles. Il y a donc alors de l’avantage à traiter les triangles sphériques comme rectilignes, en ayant égard à la petite correction qui résulte de leur différence.

Le cas dont il s’agit a lieu surtout dans le calcul des triangles qu’on forme sur la surface de la Terre pour mesurer un arc du méridien dans ces triangles, les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les longueurs mêmes des côtés, et $r$ est le rayon de la Terre.

Pour déterminer la correction dont nous venons de parler, nous prendrons l’équation (A) du n^o 14, qui sert de fondement à toute la Trigonométrie sphérique, et qui donne

$\cos \mathrm {A} ={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.$

Faisons dans le second membre les substitutions indiquées ci-dessus, en nous arrêtant aux termes divisés par $r^{4},$ nous aurons d’abord

$\cos \mathrm {A} ={\frac {{\cfrac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2r^{2}}}+{\cfrac {\alpha ^{4}-\beta ^{4}-\gamma ^{4}}{2.3.4r^{4}}}-{\cfrac {\beta ^{2}\gamma ^{2}}{4r^{4}}}}{{\cfrac {\beta \gamma }{r^{2}}}\left(1-{\cfrac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2.3r^{2}}}\right)}}\,;$

multipliant le haut et le bas de la fraction par $r^{2},$ et substituant le facteur $1+{\cfrac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2.3r^{2}}}$ à la place du diviseur $1-{\cfrac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2.3r^{2}}},$ on aura, en négligeant les termes divisés par des puissances plus hautes que $r^{2},$

${\begin{aligned}\cos \mathrm {A} &={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta \gamma }}+{\frac {\alpha ^{4}-\beta ^{4}-\gamma ^{4}}{2.3.4\beta \gamma r^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}\gamma ^{2}}{4\beta \gamma r^{2}}}+{\frac {\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}{3.4\beta \gamma r^{2}}}\\&={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta \gamma }}+{\frac {\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}-2\alpha ^{2}\gamma ^{2}-2\beta ^{2}\gamma ^{2}}{2.3.4\beta \gamma r^{2}}}.\end{aligned}}$