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où il n’y a plus que deux intégrations à faire, l’une relative à $\varpi ',$ l’autre relative à $\theta '$ ou à $\mu .$

Je différentie maintenant, comme M. Laplace, par rapport à $r\,;$ j’ai

${\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {4\pi a^{3}}{3r^{4}}}+{\frac {du}{dr}}\,;$

or

${\frac {du}{dr}}=-a^{3}\iint {\frac {(r-a\mu )y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\left(r^{2}-2a\mu r+a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Lorsque le point attiré est à la surface du sphéroïde, on a $r=a(1+y),$ en désignant par $y$ ce que devient $y',$ lorsque $\theta '$ et $\varpi '$ deviennent $\theta$ et $\varpi \,;$ mais, comme nous négligeons dans $u$ les quantités du second ordre, il suffit de faire $r=a.$ On aura ainsi

$u={\frac {a^{2}}{\sqrt {2}}}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {1-\mu }}},$

${\frac {du}{dr}}=-{\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\iint {\frac {(1-\mu )y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{(1-\mu )^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {1-\mu }}}\,;$

donc

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$

équation qui doit avoir lieu à la surface du sphéroïde.

Donc on aura aussi à cette surface

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {2\pi a^{3}}{3r}}-{\frac {4\pi a^{4}}{3r^{2}}},$

où il faut faire $r=a(1+y),$ ce qui donnera

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2\pi a^{2}y.$

M. Laplace trouve ${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}},$ parce qu’il suppose que la sphère touche le sphéroïde, auquel cas $y=0.$