où il n’y a plus que deux intégrations à faire, l’une relative à
l’autre relative à
ou à
Je différentie maintenant, comme M. Laplace, par rapport à
j’ai
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {4\pi a^{3}}{3r^{4}}}+{\frac {du}{dr}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce8280d2361019bca0f5c12b512a1f744fce57e)
or
![{\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-a^{3}\iint {\frac {(r-a\mu )y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\left(r^{2}-2a\mu r+a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d58d1c607f2c3477101ec505115bedc3d5e4cdb)
Lorsque le point attiré est à la surface du sphéroïde, on a
en désignant par
ce que devient
lorsque
et
deviennent
et
mais, comme nous négligeons dans
les quantités du second ordre, il suffit de faire
On aura ainsi
![{\displaystyle u={\frac {a^{2}}{\sqrt {2}}}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {1-\mu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0592b10030c30265d704554e2c46a6b17f982f)
![{\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\iint {\frac {(1-\mu )y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{(1-\mu )^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {1-\mu }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc89e96f7a8f4e8ab25f2641280d29af6381afd)
donc
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213eff32d54ae9b18df7199c92bf731c56dc3886)
équation qui doit avoir lieu à la surface du sphéroïde.
Donc on aura aussi à cette surface
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {2\pi a^{3}}{3r}}-{\frac {4\pi a^{4}}{3r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cc7d8eaa3b64d38c3ae75e070f712845238f32)
où il faut faire
ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2\pi a^{2}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666aed4dbf9ba4a2c3380e21fe401439e02244b1)
M. Laplace trouve
parce qu’il suppose que la sphère touche le sphéroïde, auquel cas