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3. Considérons l’équation ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$ qui est indépendante de la valeur de $y'$ dans $u,$ et supposons d’abord $y'$ constant ; on aura

$u=a^{3}y\iint {\frac {d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}.$

Il est facile d’avoir l’intégrale de ${\frac {d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}\,;$ car, en transportant l’axe ou le pôle des angles $\varpi ',\theta '$ dans la ligne $r,$ ce qui est permis, puisque cette ligne est fixe par rapport aux mêmes angles, on a $\theta =0,$ ce qui donne $\mu =\cos \theta '$ et réduit la différentielle dont il s’agit à

$-{\frac {d\varpi 'd\mu }{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}},$

laquelle doit être intégrée depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=2\pi ,$ et depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1.$ La première intégration donne

$-{\frac {2\pi d\mu }{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}\,;$

la seconde donne d’abord

${\frac {2\pi {\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}{ra}},$

et, complétant,

${\frac {2\pi (r+a)}{ra}}-{\frac {2\pi (r-a)}{ra}}={\frac {4\pi }{r}}.$

Ainsi l’on a

$u={\frac {4\pi a^{3}y}{r}},$

et de là

${\frac {du}{dr}}=-{\frac {4\pi a^{3}y}{r^{2}}}\,;$

et, faisant $r=a,$

$u=4\pi a^{2}y,\quad {\frac {du}{dr}}=-4\pi ay\,;$