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mais ces valeurs ne satisfont pas à l’équation

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$

car elles donnent

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2\pi a^{2}y.$

4. Nommons $\rho ,$ pour abréger, le radical

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}},$

en sorte que l’on ait $u=a^{3}\iint \rho y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '\,;$ comme $r$ n’est contenue que dans $\rho ,$ on aura

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=a^{3}\iint \left({\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}\right)y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$

en faisant $r=a$ après la différentiation. Or

${\frac {d\rho }{dr}}={\frac {a\mu -r}{\left(r^{2}-2a\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

faisant $r=a,$ on a

$\rho ={\frac {1}{a{\sqrt {2}}(1-\mu )}},\quad {\frac {d\rho }{dr}}={\frac {-1}{2a^{2}{\sqrt {2}}(1-\mu )}}\,;$

donc ${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}=0,$ équation identique.

Si l’on réduit, comme l’a fait M. Laplace, le radical $\rho$ en une série descendante par rapport à $r,$ on aura

$\rho ={\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots ,$

$r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}-{\frac {2a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}-{\frac {3a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}-\ldots ,$

d’où résulte

${\frac {1}{2}}\rho +r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {3a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {5a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{\mathrm {R} ^{3}}}+\ldots \right),$