mais ces valeurs ne satisfont pas à l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213eff32d54ae9b18df7199c92bf731c56dc3886)
car elles donnent
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2\pi a^{2}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a1213eea699394a5275330e41fb178422ddc5b)
4. Nommons
pour abréger, le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e8d4e4bb59ea71e1509464aa8b2a43f1a04cda)
en sorte que l’on ait
comme
n’est contenue que dans
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=a^{3}\iint \left({\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}\right)y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0161e6ec086f732276c8d38eb9378cb75953ba4)
en faisant
après la différentiation. Or
![{\displaystyle {\frac {d\rho }{dr}}={\frac {a\mu -r}{\left(r^{2}-2a\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff474a1edb32e6db026af1e07975170f26cd1396)
faisant
on a
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{a{\sqrt {2}}(1-\mu )}},\quad {\frac {d\rho }{dr}}={\frac {-1}{2a^{2}{\sqrt {2}}(1-\mu )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150d5224840bb417ae86a04cfa72a93988a664f5)
donc
équation identique.
Si l’on réduit, comme l’a fait M. Laplace, le radical
en une série descendante par rapport à
on aura
![{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f596de59877ab182d3799015e25d877bea6919)
![{\displaystyle r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}-{\frac {2a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}-{\frac {3a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5da2ab1aa3cdb9e363b7f68b3872ede6cbe77b5)
d’où résulte
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho +r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {3a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {5a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{\mathrm {R} ^{3}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4aa8a989828a9daabcc028a1a0d20520f6ea94)