et, faisant
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2a}}\mathrm {\left(R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}+\ldots \right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd180ccc47a5c27a160b3959a620f464b9522f7)
série dans laquelle tous les termes doivent se détruire d’eux-inémes ; ce qu’on trouve, en effet, après la substitution des valeurs, de
en fonction de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
On n’a pas besoin, pour s’en convaincre, d’effectuer ces substitutions ; car, puisque
on aura
![{\displaystyle \rho {\sqrt {r}}=\left(r+{\frac {a^{2}}{r}}-2a\mu \right)^{-{\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69864247a29f7123468c75f22ae31367b61a43bc)
et, différentiant par rapport à ![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}\rho +{\frac {d\rho }{dr}}{\sqrt {r}}=-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\left(r+{\frac {a^{2}}{r}}-2a\mu \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d1d3edadf37e02d7c80362814dfef8646a9698)
donc, multipliant par ![{\displaystyle {\sqrt {r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0c22a60aa5b3df11d8a7c62154af74542c0f54)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho +r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {r^{2}-a^{2}}{2\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\left(r^{2}-a^{2}\right)\rho }{2\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ea8aa772ab86f0026baffb168c31854def828f)
de sorte qu’on aura identiquement
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {3a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {5a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b52c45d0e94543c8c4a5b0bc4e85c4fea301226)
![{\displaystyle {\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}}{1-{\cfrac {2a\mu }{r}}+{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}}}\left({\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd4ed54f72f0c685a51ad75710ae41a2ad746b5)
par conséquent, en faisant
la série
sera nécessairement nulle.
5. La fonction
de
est donc toujours identiquement nulle ; donc l’intégrale de cette fonction, multipliée par
étant supposée nulle, lorsque
et
devrait être toujours nulle par les principes du Calcul intégral, suivant lesquels l’intégrale est