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et, faisant $r=a,$

${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2a}}\mathrm {\left(R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}+\ldots \right)} ,$

série dans laquelle tous les termes doivent se détruire d’eux-inémes ; ce qu’on trouve, en effet, après la substitution des valeurs, de $\mathrm {R} ^{(0)},\mathrm {R} ^{(1)},\ldots$ en fonction de $\mu .$

On n’a pas besoin, pour s’en convaincre, d’effectuer ces substitutions ; car, puisque $\rho =\left(r-2ar\mu +a^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$ on aura

$\rho {\sqrt {r}}=\left(r+{\frac {a^{2}}{r}}-2a\mu \right)^{-{\frac {1}{2}}},$

et, différentiant par rapport à $r,$

${\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}\rho +{\frac {d\rho }{dr}}{\sqrt {r}}=-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\left(r+{\frac {a^{2}}{r}}-2a\mu \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,;$

donc, multipliant par ${\sqrt {r}},$

${\frac {1}{2}}\rho +r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {r^{2}-a^{2}}{2\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\left(r^{2}-a^{2}\right)\rho }{2\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)}}\,;$

de sorte qu’on aura identiquement

${\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {3a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {5a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots =$

${\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}}{1-{\cfrac {2a\mu }{r}}+{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}}}\left({\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots \right)\,;$

par conséquent, en faisant $r=a,$ la série $\mathrm {R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}} +\ldots$ sera nécessairement nulle.

5. La fonction ${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}$ de $\mu$ est donc toujours identiquement nulle ; donc l’intégrale de cette fonction, multipliée par $y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ étant supposée nulle, lorsque $\varpi '=0$ et $\theta '=0,$ devrait être toujours nulle par les principes du Calcul intégral, suivant lesquels l’intégrale est