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regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la différentielle. Ainsi l’on devrait avoir toujours l’équation ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0$ que nous avons trouvée d’abord ; cependant nous venons de voir que, dans le cas le plus simple, où $y'$ est constant, on a

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2\pi a^{2}y,$

ce qui est un paradoxe dans le Calcul intégral.

6. Pour en trouver l’explication, je vais reprendre l’analyse qui a donné l’équation ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$ et je ferai d’abord le calcul sans rien négliger. Puisque $u=a^{3}\iint \rho y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et que la quantité $r$ n’est contenue que dans l’expression de $\rho ,$ il n’y a nul doute qu’en différentiant par rapport à $r,$ on n’ait

${\frac {du}{dr}}=a^{3}\iint {\frac {d\rho }{dr}}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.$

Or

${\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {r-a\mu }{\left(r^{2}-2ra\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

donc

$r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}}-{\frac {r^{2}-a^{2}}{2\left(r^{2}-2ra\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\rho }{2}}-{\frac {\left(r^{2}-a^{2}\right)\rho ^{3}}{2}}\,;$

donc on aura

${\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {a^{3}\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2}}\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.$

On voit ici, en effet, qu’en faisant $r=a,$ le second terme de l’équation disparaît, et qu’on a rigoureusement, quel que soit $y',$ l’équation

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0.$

Donc, puisque d’un autre côté la valeur de ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}$ n’est pas toujours