regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la différentielle. Ainsi l’on devrait avoir toujours l’équation
que nous avons trouvée d’abord ; cependant nous venons de voir que, dans le cas le plus simple, où
est constant, on a
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2\pi a^{2}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cb68ef1e3612ca4cd2b59115053a547de26488)
ce qui est un paradoxe dans le Calcul intégral.
6. Pour en trouver l’explication, je vais reprendre l’analyse qui a donné l’équation
et je ferai d’abord le calcul sans rien négliger. Puisque
et que la quantité
n’est contenue que dans l’expression de
il n’y a nul doute qu’en différentiant par rapport à
on n’ait
![{\displaystyle {\frac {du}{dr}}=a^{3}\iint {\frac {d\rho }{dr}}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ba6e08d0be964001a298e54657bdc41369d5f9)
Or
![{\displaystyle {\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {r-a\mu }{\left(r^{2}-2ra\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bea20793877d2ebceb8b30b277b5dc715b5be46)
donc
![{\displaystyle r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}}-{\frac {r^{2}-a^{2}}{2\left(r^{2}-2ra\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\rho }{2}}-{\frac {\left(r^{2}-a^{2}\right)\rho ^{3}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb64baeafc212f79c257f9292d920ae5883e6c1)
donc on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {a^{3}\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2}}\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e6f150785f627839a955dca7488fc6a9e2bf33)
On voit ici, en effet, qu’en faisant
le second terme de l’équation disparaît, et qu’on a rigoureusement, quel que soit
l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df26639d9bc87fcffe244fdad5a3595c0955d1dc)
Donc, puisque d’un autre côté la valeur de
n’est pas toujours