nulle, il faut que le terme multiplié par
ne disparaisse pas toujours en faisant
7. Pour aller du plus simple au plus composé, nous commencerons par examiner le cas où
est une quantité constante. Dans ce cas, on n’a qu’à chercher l’intégrale de
et, pour cela, nous pouvons supposer, comme dans le no 3, l’angle nul, ce qui donne
et
de sorte que la différentielle dont il s’agit deviendra
![{\displaystyle -{\frac {d\varpi 'd\mu }{\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147fdd6c29c61dd50fc7c6e8de916e3367cef0ea)
Intégrant d’abord par rapport à
on a
![{\displaystyle -{\frac {2\pi d\mu }{\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3725b7ef98c48eabd418aea29b19344a6288eb81)
intégrant ensuite par rapport à
on a
![{\displaystyle {\frac {-2\pi }{ar{\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd5d7b03557faa317c3235593d17fa28fbbb7c6)
et, complétant depuis
jusqu’à
on aura l’intégrale complète
![{\displaystyle {\frac {-2\pi }{ar(r+a)}}+{\frac {2\pi }{ar(r-a)}}={\frac {4\pi }{r\left(r^{2}-a^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8e190487f9f5b4740e00c3c81c7d06b1bea7c0)
Ainsi la valeur complète de
lorsque
est constant, est
quelle que soit la valeur de
Substituant cette valeur dans l’équation du numéro précédent, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {2\pi a^{3}y'}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4326cb31d461d2eaa64416418bc250f9c108d407)
Si maintenant on fait
elle devient
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c81b3482888cbe67a1a7aa820c2d89af7a32b8f)