comme on l’a trouvée dans le no 3, les quantités
et
étant ici les mêmes.
8. Considérons maintenant le cas général dans lequel
est supposé une fonction de sinus et de cosinus des angles
et
on aura à intégrer la quantité
et, pour cela, nous transporterons aussi, comme dans le no 3, l’axe ou le pôle des angles variables
qui déterminent la position de chaque molécule sur la sphère, dans la ligne
menée du centre au point attiré. Nommons
et
ce que deviennent alors les angles
et
on aura également
pour l’élément
et
pour la valeur de
de sorte que la différentielle dont il s’agit deviendra
qu’il faudra intégrer depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
Mais, comme
est supposé fonction de sinus et cosinus des angles
et
qui ont leur pôle dans un axe fixe indépendant de la position du point attiré ou de la ligne
il faudra substituer dans
à la place des sinus et cosinus de
et
leurs valeurs en sinus et cosinus de
et
Pour cela, il n’y a qu’à considérer le triangle sphérique qui a les angles
et
pour ses trois côtés, et dans lequel
est l’angle opposé au côté
et
est l’angle opposé au côté
et les formules connues de la Trigonométrie sphérique donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \theta '=\cos \theta \cos \psi +\sin \theta \sin \psi \cos \varphi ,\\&\sin \theta '\sin(\varpi -\varpi ')=\sin \psi \sin \varphi ,\\&\sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')=\sin \theta \cos \psi -\cos \theta \sin \psi \cos \varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7b2bedb76db16f90b46e3444cdd757d896ddb8)
Ainsi la formule
sera intégrable toutes les fois que
sera une fonction rationnelle et entière de
parce que l’intégrale relative à
fera disparaître toutes les puissances impaires du sinus. C’est ainsi que d’Alembert a calculé l’attraction des sphéroïdes peu différents de la sphère ; mais pour notre objet il suffit d’avoir réduit l’intégration de la formule
à celle de la formule