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comme on l’a trouvée dans le n^o 3, les quantités $y'$ et $y$ étant ici les mêmes.

8. Considérons maintenant le cas général dans lequel $y'$ est supposé une fonction de sinus et de cosinus des angles $\varpi '$ et $\theta '\,;$ on aura à intégrer la quantité $3\rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et, pour cela, nous transporterons aussi, comme dans le n^o 3, l’axe ou le pôle des angles variables $\varpi ',\theta ',$ qui déterminent la position de chaque molécule sur la sphère, dans la ligne $r$ menée du centre au point attiré. Nommons $\varphi$ et $\psi$ ce que deviennent alors les angles $\varpi '$ et $\theta '\,;$ on aura également $d\varphi d\psi \sin \psi$ pour l’élément $d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et $\cos \psi$ pour la valeur de $\mu \,;$ de sorte que la différentielle dont il s’agit deviendra $-\rho ^{3}y'd\varphi d\mu ,$ qu’il faudra intégrer depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =2\pi ,$ et depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1.$

Mais, comme $y'$ est supposé fonction de sinus et cosinus des angles $\varpi '$ et $\theta ',$ qui ont leur pôle dans un axe fixe indépendant de la position du point attiré ou de la ligne $r,$ il faudra substituer dans $y',$ à la place des sinus et cosinus de $\varpi '$ et $\theta ',$ leurs valeurs en sinus et cosinus de $\varphi$ et $\psi .$ Pour cela, il n’y a qu’à considérer le triangle sphérique qui a les angles $\theta ,\theta '$ et $\psi$ pour ses trois côtés, et dans lequel $\varpi -\varpi '$ est l’angle opposé au côté $\psi ,$ et $\varphi$ est l’angle opposé au côté $\theta ',$ et les formules connues de la Trigonométrie sphérique donneront

${\begin{aligned}&\cos \theta '=\cos \theta \cos \psi +\sin \theta \sin \psi \cos \varphi ,\\&\sin \theta '\sin(\varpi -\varpi ')=\sin \psi \sin \varphi ,\\&\sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')=\sin \theta \cos \psi -\cos \theta \sin \psi \cos \varphi .\end{aligned}}$

Ainsi la formule $\rho ^{3}y'd\varphi d\mu$ sera intégrable toutes les fois que $y'$ sera une fonction rationnelle et entière de $\cos \theta ',\ \sin \theta '\sin \varpi ',\ \sin \theta '\cos \varpi ',$ parce que l’intégrale relative à $\varphi$ fera disparaître toutes les puissances impaires du sinus. C’est ainsi que d’Alembert a calculé l’attraction des sphéroïdes peu différents de la sphère ; mais pour notre objet il suffit d’avoir réduit l’intégration de la formule $\rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '$ à celle de la formule $-\rho ^{3}y'd\varphi d\mu .$