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9. Les formules précédentes sont pour le lieu vrai de l’astre ; on aura de même pour son lieu apparent (4)

${\begin{aligned}r'l'\ \ =&(x'\cos \alpha +y'\sin \alpha )\cos \beta +z'\sin \beta ,\\r'm'=&y'\cos \alpha -x'\sin \alpha ,\\r'n'\ =&z'\cos \beta -(x'\cos \alpha +y'\sin \alpha )\sin \beta \,;\end{aligned}}$

mettant pour $x',y',z'$ leurs valeurs $x-\xi ,\ y-\eta ,\ z-\zeta ,$ (numéro cité), et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&{\frac {(\xi \cos \alpha +\eta \sin \alpha )\cos \beta +\zeta \sin \beta }{\rho }}=\lambda ,\\&{\frac {\eta \cos \alpha -\xi \sin \alpha }{\rho }}=\mu ,\\&{\frac {\zeta \cos \beta -(\xi \cos \alpha +\eta \sin \alpha )\sin \beta }{\rho }}=\nu ,\\&{\frac {\rho }{r}}=\varpi ,\end{aligned}}$

$\varpi$ étant le sinus de la plus grande parallaxe de hauteur de l’astre (3), on aura

${\begin{aligned}r'l'\ \ =&r(l\ \ -\varpi \lambda ),\\r'm'=&r(m-\varpi \mu ),\\r'n'\ =&r(n\ -\varpi \nu ).\end{aligned}}$

Ce sont les valeurs des trois coordonnées rectangles du lieu apparent de l’astre, rapportées aux mêmes axes que les coordonnées $rl,rm,rn$ du lieu vrai.

Or, comme $r'$ est (hypothèse) la distance du lieu apparent au centre de la sphère, qui est en même temps l’origine des coordonnées, on aura

$l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}=1.$

De plus, à cause de $\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\rho ^{2}$ (6), il est visible qu’on aura aussi

$\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1.$

10. De là il s’ensuit d’abord qu’en ajoutant ensemble les carrés des