Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/426

équations précédentes et extrayant la racine carrée, on aura

${\frac {r'}{r}}={\sqrt {1-2\varpi (l\lambda +m\mu +n\nu )+\varpi ^{2}}},$

ce qui sert à déterminer la distance apparente de l’astre par sa distance vraie.

11. Pour avoir maintenant les valeurs de $l,m,n$ en longitudes et latitudes, il n’y aura qu’à substituer dans les formules du n^o 8, pour $x,y,z$ leurs valeurs (2), et, divisant par $r,$ on aura

${\begin{aligned}l\ \ =&\cos(a-\alpha )\cos b\cos \beta +\sin b\sin \beta ,\\m=&\sin(a-\alpha )\cos b,\\n\ =&\sin b\cos \beta -\cos(a-\alpha )\cos b\sin \beta ,\end{aligned}}$

et l’on aura $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,$ comme cela doit être.

Quant aux valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu ,$ on les trouvera par la substitution de celles de $\xi ,\eta ,\zeta$ du n^o 6 dans les expressions ci-dessus, et il viendra

${\begin{aligned}\lambda =&(\cos \theta \cos \varphi \cos \alpha +\sin \theta \cos \varphi \cos \omega \sin \alpha +\sin \varphi \sin \omega \sin \alpha )\cos \beta \\&+(\sin \varphi \cos \omega -\sin \theta \cos \varphi \sin \omega )\sin \beta ,\\\mu =&\sin \theta \cos \varphi \cos \omega \cos \alpha +\sin \varphi \sin \omega \cos \alpha -\cos \theta \cos \varphi \sin \alpha ,\\\nu =&(\sin \varphi \cos \omega -\sin \theta \cos \varphi \sin \omega )\cos \beta \\&-(\cos \theta \cos \varphi \cos \alpha +\sin \theta \cos \varphi \cos \omega \sin \alpha +\sin \varphi \sin \omega \sin \alpha )\sin \beta .\end{aligned}}$

12. Cela posé, imaginons un plan qui touche la sphère céleste, dont je suppose le rayon $=1,$ au point auquel se dirige le premier axe des coordonnées, c’est-à-dire l’axe des abscisses $rl,$ et dont la longitude est $\alpha ,$ la latitude $\beta ,$ et supposons que du centre de la sphère on projette sur ce plan les lieux tant vrais qu’apparents des astres, comme aussi les différents cercles de la sphère ; il est clair que les lieux ainsi projetés seront dans les points d’intersection des rayons menés vers les lieux des astres avec le plan proposé, et que tous les grands cercles de la sphère seront représentés sur le plan de projection par des lignes