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de la cinquième et de la sixième des fractions principales trouvées ci-devant, il s’ensuit de ce que nous avons démontré (n^o 14) que la fraction ${\frac {161}{39}}$ approcherait plus de la vérité que la fraction ${\frac {400}{97}}\,;$ au reste, comme les Astronomes sont encore partagés sur la véritable longueur de l’année, nous nous abstiendrons de prononcer sur ce sujet ; aussi n’avons-nous eu d’autre objet, dans les détails que nous venons de donner, que de faciliter les moyens de se mettre au fait des fractions continues et de leurs usages ; dans cette vue nous ajouterons encore l’Exemple suivant.

Exemple II.

21. Nous avons déjà donné (n^o 8) la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence du cercle au diamètre, en tant qu’elle résulte de la fraction de Ludolph ; ainsi il n’y aura qu’à calculer, de la manière enseignée dans l’Exemple précédent, la série des fractions convergentes vers ce même rapport, laquelle sera

${\begin{array}{ccccccccccc}3,&7&15,&1,&292,&1,&1,&1,&2,&1,&3,\\{\frac {3}{1}},&{\frac {22}{7}},&{\frac {333}{106}},&{\frac {355}{113}},&{\frac {103993}{33102}},&{\frac {104348}{33215}},&{\frac {208341}{66317}},&{\frac {319689}{99532}},&{\frac {833719}{265381}},&{\frac {1146408}{364913}},&{\frac {4272943}{1360120}},\end{array}}$

${\begin{array}{cccccc}1,&14,&2&1&1,&2,\\{\frac {5419351}{1725033}},&{\frac {80143857}{25510582}},&{\frac {165707065}{52746197}},&{\frac {245850922}{78256779}},&{\frac {411557987}{131002976}},&{\frac {1068966896}{340262731}},\end{array}}$

${\begin{array}{cccccc}2,&2&2,&1,&84,&2,\\{\frac {2549491779}{811528438}},&{\frac {6167950454}{1963319607}},&{\frac {148853929687}{4738167652}},&{\frac {21053343141}{6701487259}},&{\frac {1783366216531}{567663097408}},&{\frac {3587785776203}{114202682075}},\end{array}}$

${\begin{array}{cccc}1,&1,&15,&3,\\{\frac {531151992734}{1709690779483}},&{\frac {8958937768937}{2851718461558}},&{\frac {139755218526789}{44485467702853}},&{\frac {428224593349304}{136308121570117}},\end{array}}$

${\begin{array}{cccc}13,&1,&4,&2\\{\frac {5706674932067741}{1816491048114374}},&{\frac {6134899525417045}{1952799169684491}},&{\frac {30246273033735921}{9627687726852338}},&{\frac {66627445592888887}{21208174623389167}},\end{array}}$

${\begin{array}{ccc}6,&6,&1.\\{\frac {430010946591069243}{136876735467187340}},&{\frac {2646693125139304345}{842468587426513207}},&{\frac {3076704071730373588}{979345322893700547}}.\end{array}}$