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Ces fractions seront donc alternativement plus petites et plus grandes que la vràie raison de la circonférence au diamètre, c’est-à-dire que la première ${\frac {3}{1}}$ sera plus petite, la deuxième ${\frac {22}{7}}$ plus grande, et ainsi de suite, et chacune d’elles approchera plus de la vérité que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait exprimée en termes plus simples, ou, en général, qui aurait un dénominateur moindre que le dénominateur de la fraction suivante ; de sorte que l’on peut assurer que la fraction ${\frac {3}{1}}$ approche plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que $7\,;$ de même la fraction ${\frac {22}{7}}$ approchera plus de la vérité que toute autre fraction dont le dénominateur serait moindre que $106,$ et ainsi des autres.

Quant à l’erreur de chaque fraction, elle sera toujours moindre que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par celui de la fraction suivante. Ainsi l’erreur de la fraction ${\frac {3}{1}}$ sera moindre que ${\frac {1}{7}},$ celle de la fraction ${\frac {22}{7}}$ sera moindre que ${\frac {1}{7.106}},$ et ainsi de suite. Mais en même temps l’erreur de chaque fraction sera plus grande que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par la somme de ce dénominateur et du dénominateur de la fraction suivante ; de sorte que l’erreur de la faction ${\frac {3}{1}}$ sera plus grande que ${\frac {1}{8}},$ celle de la fraction ${\frac {22}{7}}$ plus grande que ${\frac {1}{7.113}},$ et ainsi de suite (n^o 14).

Si l’on voulait maintenant séparer les fractions plus petites que le rapport de la circonférence au diamètre d’avec les plus grandes, on pourrait, en insérant les fractions intermédiaires convenables, former deux suites de fractions, les unes croissantes et les autres décroissantes vers le vrai rapport dont il s’agit ; on aurait de cette manière

Fractions plus petites que ${\frac {p{\acute {e}}riph.}{diam.}}$.

${\frac {3}{1}},\ {\frac {25}{8}},\ {\frac {47}{15}},\ {\frac {69}{22}},\ {\frac {91}{29}},\ {\frac {113}{36}},\ {\frac {135}{43}},\ {\frac {157}{50}},\ {\frac {179}{57}},\ {\frac {201}{64}},\ {\frac {223}{71}},\ {\frac {245}{78}},\ {\frac {267}{85}},\ {\frac {289}{92}},\ {\frac {311}{99}},$

${\frac {333}{106}},\ {\frac {688}{219}},\ {\frac {1043}{332}},\ {\frac {1398}{445}},\ {\frac {1753}{558}},\ {\frac {2108}{671}},\ {\frac {2463}{784}},\quad \ldots .$