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en faisant $\beta =0$ et $\alpha =\mathrm {A} \,;$ car alors on aura, en supposant $a-\mathrm {A} =t,$

${\begin{alignedat}{3}l\ =&\cos t\cos b,\qquad &m=&\sin t\cos b,\qquad &n=&\sin b,\\\mathrm {L} =&\cos \mathrm {B} ,&\mathrm {M} =&0,&\mathrm {N} =&\sin \mathrm {B} ,\\\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\lambda =&\cos \theta \cos \varphi \cos \mathrm {A} +\sin \theta \cos \varphi \cos \omega \sin \mathrm {A} ,\\\mu =&\sin \theta \cos \varphi \cos \omega \cos \mathrm {A} +\sin \varphi \sin \omega \cos \mathrm {A} -\cos \theta \cos \varphi \sin \mathrm {A} ,\\\nu =&\sin \varphi \cos \omega -\sin \theta \cos \varphi \sin \omega .\end{aligned}}$

Ces suppositions consistent, comme l’on voit, à prendre le plan de projection perpendiculaire à l’écliptique et tangent au cercle de latitude du premier astre.

21. En second lieu, on aura aussi une grande simplification en gardant la supposition de $\alpha =\mathrm {A} ,$ et en faisant pareillement $\beta =\mathrm {B}$ au lieu de $\beta =0\,;$ car par ce moyen on aura $\mathrm {L=1,\ M=0,\ N} =0\,;$ mais, en revanche, les valeurs de $l,m,n$ et de $\lambda ,\mu ,\nu$ seront un peu plus compliquées.

Faisant donc $\alpha =\mathrm {A}$ et $\beta =\mathrm {B} ,$ et supposant $a-\mathrm {A} =t,\ b-\mathrm {B} =u,$ on aura

${\begin{aligned}l\ \ =&\cos t\cos \mathrm {B} \cos b+\sin \mathrm {B} \sin b=\cos u-2\sin ^{2}{\frac {t}{2}}\cos \mathrm {B} \cos b,\\m=&\sin t\cos b,\\n\ =&\cos \mathrm {B} \sin b-\cos t\sin \mathrm {B} \cos b=\sin u+2\sin ^{2}{\frac {t}{2}}\sin \mathrm {B} \cos b\,;\end{aligned}}$

ensuite

$\mathrm {L=1,\quad M=0,\quad N=0} .$

Et, si l’on retient les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu$ du numéro précédent, et qu’on désigne par ${\overline {\lambda }},{\overline {\mu }},{\overline {\nu }}$ les valeurs de ces quantités qui ont lieu dans l’hypothèse présente, on aura

${\overline {\lambda }}=\lambda \cos \mathrm {B} +\nu \sin \mathrm {B} ,\quad {\overline {\mu }}=\mu ,\quad {\overline {\nu }}=\nu \cos \mathrm {B} -\lambda \sin \mathrm {B} \,;$

de sorte qu’il n’y aura qu’à mettre dans les expressions de $\mathrm {P',Q'} ,p',q',$ au lieu de $\lambda ,\nu ,$ les quantités ${\overline {\lambda }},{\overline {\nu }}.$