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mètres du Soleil et de la Lune, et cette distance est encore plus petite dans les passages des planètes ; donc $\Sigma '$ et $\sigma$ ne seront pas $>34'\,;$ donc $\sin \sigma <{\frac {1}{100}}.$ Par conséquent le premier terme de la série qui exprime la différence entre $\Sigma '$ et $\sigma$ sera $<0''{,}1.$

D’où il s’ensuit que dans les éclipses de Soleil, et à plus forte raison dans les passages de Vénus et de Mercure sur le disque du Soleil, on peut prendre $\Sigma '=\sigma$ sans commettre une erreur d’un dixième de seconde. On aura donc simplement, pour la distance apparente $\Sigma '$ dans ces sortes de phénomènes, la formule

$\operatorname {tang} \Sigma '={\sqrt {(p'-\mathrm {P} ')^{2}+(q'-\mathrm {Q} ')^{2}}}.$

27. Cette expression de $\operatorname {tang} \Sigma ',$ quoique déjà fort réduite, est néanmoins susceptible de l’être encore davantage.

Et d’abord, comme les quantités $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ sont extrêmement petites, on pourrait les négliger tout à fait vis-à-vis de $p'$ et $q'\,;$ mais il est bon d’apprécier l’erreur qui en résulterait.

Pour cela, je remarque, en général, que toute quantité de la forme ${\sqrt {(a+\alpha )^{2}+(b+\beta )^{2}}}$ est nécessairement comprise entre ces deux limites ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$ et ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$ de sorte qu’en négligeant les quantités $\alpha$ et $\beta$ on ne commet, sur la valeur de ${\sqrt {(a+\alpha )^{2}+(b+\beta )^{2}}},$ qu’une erreur moindre que ${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.$

En effet, on a

$(a+\alpha )^{2}+(b+\beta )^{2}=a^{2}+b^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}+2(a\alpha +b\beta )\,;$

mais

$(a\alpha +b\beta )^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{2}-(a\beta -b\alpha )^{2}\,;$

donc $a\alpha +b\beta$ sera toujours nécessairement comprise entre ces limites $\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\,;$ donc les limites de $(a+\alpha )^{2}+(b+\beta )^{2}$ seront

$a^{2}+b^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\pm 2{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}=\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pm {\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\right)\,;$

donc les limites de ${\sqrt {(a+\alpha )^{2}+(b+\beta )^{2}}}$ sont ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pm {\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.$

Il s’ensuit de là que la valeur de $\operatorname {tang} \Sigma '$ sera toujours comprise entre