Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/445

ces limites ${\sqrt {p'^{2}+q'^{2}}}\pm \mathrm {\sqrt {P'^{2}+Q'^{2}}} \,;$ de sorte qu’en prenant simplement

$\operatorname {tang} \Sigma '={\sqrt {p'^{2}+q'^{2}}},$

l’erreur ne surpassera jamais $\mathrm {\sqrt {P'^{2}+Q'^{2}}} .$

Or on a trouvé plus haut (25) que la plus grande valeur de $\mathrm {\sqrt {P'^{2}+Q'^{2}}}$ est $\operatorname {tang} \psi \,;$ donc, si l’on fait ${\sqrt {p'^{2}+q'^{2}}}=\operatorname {tang} \sigma ',$ on aura, dans les cas extrêmes,

$\operatorname {tang} \Sigma '=\operatorname {tang} \sigma '\pm \operatorname {tang} \Psi .$

Or

$\operatorname {tang} \sigma '\pm \operatorname {tang} \Psi =(1\mp \operatorname {tang} \sigma '\operatorname {tang} \Psi )\operatorname {tang} (\sigma '\pm \Psi )\,;$

de sorte que

$\operatorname {tang} \sigma '+\operatorname {tang} \Psi <\operatorname {tang} (\sigma '+\Psi ),\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} \sigma '-\operatorname {tang} \Psi >\operatorname {tang} (\sigma '-\Psi )\,;$

par conséquent on aura, dans les cas extrêmes,

$\operatorname {tang} \Sigma '<\operatorname {tang} (\sigma '+\Psi ),\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {tang} \Sigma '>\operatorname {tang} (\sigma '-\Psi )\,;$

donc

$\Sigma '<\sigma '+\Psi \quad {\text{et}}\quad >\sigma '-\Psi .$

D’où il est aisé de conclure qu’en prenant $\Sigma '=\sigma ',$ c’est-à-dire $\operatorname {tang} \Sigma '={\sqrt {p'^{2}+q'^{2}}},$ l’erreur qu’on pourra commettre sur l’angle $\Sigma '$ ne pourra jamais surpasser l’angle $\Psi ,$ qui est égal à la parallaxe horizontale du Soleil. Mais aussi cette erreur ne sera pas tout à fait à négliger, lorsqu’on voudra porter la précision jusqu’aux secondes inclusivement.

28. En général, il est facile de déduire de l’analyse précédente que si, au lieu de la véritable équation

$\operatorname {tang} \Sigma '={\sqrt {(p'-\mathrm {P} ')^{2}+(q'-\mathrm {Q} ')^{2}}},$

on prend celle-ci

$\operatorname {tang} \Sigma '={\sqrt {(p'-\mathrm {P} '+\alpha )^{2}+(q'-\mathrm {Q} '+\beta )^{2}}},$

$\alpha$ et $\beta$ étant des quantités quelconques, l’erreur qui en résultera dans