Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/446

la valeur de l’angle $\Sigma '$ sera toujours moindre que l’angle qui aurait pour tangente ${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.$

Comme $p'={\frac {m-\varpi \mu }{l-\varpi \lambda }}$ et $q'={\frac {n-\varpi \nu }{l-\varpi \lambda }}$ (19), si l’on suppose $\alpha -\mathrm {P} '={\frac {\Pi l\mu }{l-\varpi \lambda }},$ $\beta -\mathrm {Q} '={\frac {\Pi l\nu }{l-\varpi \lambda }},$ on aura

$\operatorname {tang} \Sigma '={\frac {\sqrt {\left[m-(\varpi -\Pi l)\mu \right]^{2}+\left[n-(\varpi -\Pi l)\nu \right]^{2}}}{l-\varpi \lambda }},$

et la valeur de $\Sigma '$ déduite de cette équation, ne pourra jamais différer de la véritable, d’un angle plus grand que celui dont la tangente sera ${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.$ Or

$\alpha ={\frac {\Pi l\mu }{l-\varpi \lambda }}-{\frac {\Pi \mu }{1-\Pi \lambda }},\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {\Pi l\nu }{l-\varpi \lambda }}-{\frac {\Pi \nu }{1-\Pi \lambda }}\,;$

donc

${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}=\Pi {\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\left({\frac {l}{l-\varpi \lambda }}-{\frac {1}{1-\Pi \lambda }}\right)={\frac {\Pi (\varpi -\Pi l)\lambda {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}{(l-\varpi \lambda )(1-\Pi \lambda )}},$

à cause de $\mu ^{2}+\nu ^{2}=1-\lambda ^{2}.$

La plus grande valeur de $\lambda {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}$ a lieu lorsque $\lambda ={\sqrt {\frac {1}{2}}},$ ce qui donne $\lambda {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}={\frac {1}{2}}\,;$ de plus

$(l-\varpi \lambda )(1-\Pi \lambda )=l-(\varpi +\Pi )\lambda +\varpi \Pi \lambda ^{2}>l-(\varpi +\Pi )\lambda >l-\varpi -\Pi ,$

à cause que $\lambda$ est toujours renfermé entre $+1$ et $-1.$ Donc on aura nécessairement

${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}<{\frac {\Pi (\varpi -\Pi l)}{2(l-\varpi -\Pi )}}.$

Donc, comme $\Pi =\sin 8''{\tfrac {1}{2}},$ l’angle dont la tangente est ${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$ sera $<8''{\tfrac {1}{2}}\times {\frac {\varpi -\Pi l}{2(l-\varpi -\Pi )}}.$ Mais pour la Lune on a environ $\varpi =\sin 1^{\circ }={\frac {1}{60}},$ et cette quantité est encore beaucoup moindre pour Vénus et Mercure ; donc l’angle dont il s’agit sera $<{\frac {8'''}{2(l-\varpi -\Pi )}}\,;$ et, comme $l=\cos t\cos b$ (20) $=$ à peu près $1,$ à cause que $t$ et $b$ sont toujours des angles fort