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Qu’on substitue donc la valeur dont il s’agit dans l’expression de ${\frac {r'}{r}},$ on aura

${\frac {r'}{r}}=(l-\varpi \lambda ){\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}\Sigma '}}={\frac {l-\varpi \lambda }{\cos \Sigma '}}.$

Donc on aura enfin

$\sin d'={\frac {\sin d\cos \Sigma '}{l-\varpi \lambda }}.$

33. Cela posé, soit $\mathrm {D}$ le demi-diamètre horizontal du Soleil donné par les Tables ; il est clair que l’éclipse commencera ou finira lorsque $\Sigma '=\mathrm {D} +d'\,;$ de sorte qu’on aura pour le commencement ou pour la fin $d'=\Sigma '-\mathrm {D} ,$ par conséquent

$\sin d'=\sin \Sigma '\cos \mathrm {D} -\cos \Sigma '\sin \mathrm {D} \,;$

substituant donc la valeur précédente de $\sin d',$ on aura

${\frac {\sin d\cos \Sigma '}{l-\varpi \lambda }}=\sin \Sigma '\cos \mathrm {D} -\cos \Sigma '\sin \mathrm {D} \,;$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} \Sigma '=\operatorname {tang} \mathrm {D} +{\frac {\sin d}{(l-\varpi \lambda )\cos \mathrm {D} }}.$

Donc pour le commencement et pour la fin de l’éclipse on aura, en substituant la valeur de $\operatorname {tang} \Sigma '$ du n^o 29,

$\left[{\frac {\sin d}{\cos \mathrm {D} }}+(l-\varpi \lambda )\operatorname {tang} \mathrm {D} \right]^{2}=\left[m-(\varpi -\Pi )\mu \right]^{2}+\left[n-(\varpi -\Pi )\nu \right]^{2},$

équation d’où l’on pourra conclure l’instant précis de ces phases ; mais la solution directe de cette équation est impossible, à cause qu’elle renferme les sinus et les cosinus des angles $t,b,\mathrm {A}$ et $\theta ,$ qui varient avec des vitesses différentes ; c’est pourquoi il faut se contenter d’une solution approchée, qu’on peut d’ailleurs rendre aussi exacte qu’on voudra.

Au reste, comme l’usage de cette solution ne consisterait qu’à déterminer l’instant précis du commencement ou de la fin de l’éclipse, ce