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$s,x,y,z$ deviennent $g',h',r',s',x',y',z'\,;$ on aura de même

${\begin{aligned}x'=&r'{\frac {\beta \sin(g'-s')-\operatorname {tang} h\cos s'}{\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g'}},\\y'=&r'{\frac {\alpha \sin(g'-s')-\operatorname {tang} h'\sin s'}{\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g'}},\\z'=&r'{\frac {\alpha \operatorname {tang} h'\cos s'-\beta \operatorname {tang} h'\sin s'}{\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g'}}.\end{aligned}}$

et, si l’on substitue les valeurs précédentes de $x,y,x',y'$ dans l’expression $y'x-x'y,$ on trouvera la quantité

$rr'{\frac {\mathrm {G} \alpha -\mathrm {H} \beta +\operatorname {tang} h'\operatorname {tang} h\sin(s'-s)}{(\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g')(\operatorname {tang} h+\alpha \cos g-\beta \sin g)}},$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {G} =&\operatorname {tang} h'\cos s'\sin(g-s)-\operatorname {tang} h\cos s\sin(g'-s'),\\\mathrm {H} =&\operatorname {tang} h'\sin s'\,\sin(g-s)-\operatorname {tang} h\sin s\,\sin(g'-s').\end{aligned}}$

6. Or il est facile de se convaincre, par la Géométrie, que ${\frac {y'x-x'y}{2}}$ est égale à l’aire du triangle qui est la projection sur l’écliptique du triangle formé dans le plan de l’orbite de la comète par les deux rayons vecteurs menés du Soleil aux deux lieux observés, et par la corde rectiligne qui joint ces deux lieux et qui sous-tend, par conséquent, l’arc parcouru dans l’intervalle des deux observations ; de plus, si l’on nomme $d$ l’aire de ce dernier triangle, on prouvera aisément, par la Géométrie, que $\Delta :{\frac {y'x-x'y}{2}}=1:\cos \eta ,$ $\eta$ étant l’inclinaison du plan de l’orbite sur celui de l’écliptique (3), de sorte qu’on aura

$\Delta ={\frac {y'x-x'y}{2\cos \eta }}\,;$

mais

$\operatorname {tang} \eta ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$