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et par conséquent

$\cos \eta ={\frac {1}{\sqrt {1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}\,;$

donc on aura, après les substitutions,

$\Delta ={\frac {\left[\mathrm {G} \alpha -\mathrm {H} \beta +\operatorname {tang} h'\operatorname {tang} h\sin(s'-s)\right]rr'{\sqrt {1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}{2(\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g')(\operatorname {tang} h+\alpha \cos g-\beta \sin g)}}.$

7. Or, comme $s$ est la longitude du Soleil dans le temps de la première observation, et $s'$ sa longitude dans le temps de la seconde observation, il s’ensuit que $s'-s$ sera l’angle décrit par le Soleil autour de la Terre, ou, ce qui revient au même, l’angle décrit par la Terre autour du Soleil, dans l’intervalle des deux observations ; mais $r$ est la distance de la Terre au Soleil dans la première observation, et $r'$ la distance de la Terre au Soleil dans la seconde observation ; donc l’aire du triangle, formé au centre du Soleil par les deux rayons vecteurs $r,r',$ et par la corde de l’arc parcouru par la Terre dans l’intervalle des deux observations, sera exprimée par ${\frac {rr'\sin(s'-s)}{2}},$ ainsi qu’on le démontre en Géométrie.

Donc le rapport de l’aire triangulaire $\Delta ,$ décrite par la comète dans l’intervalle des deux observations, à l’aire triangulaire décrite par la Terre dans le même temps, sera exprimé par ${\frac {2\Delta }{rr'\sin(s'-s)}},$ c’est-à-dire, en substituant la valeur ci-dessus de $\Delta ,$ et faisant

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {\operatorname {tang} h'\cos s'\sin(g-s)-\operatorname {tang} h\cos s\sin(g'-s')}{\sin(s'-s)}},\\\mathrm {B} =&{\frac {\operatorname {tang} h'\sin s'\,\sin(g-s)-\operatorname {tang} h\sin s\,\sin(g'-s')}{\sin(s'-s)}},\end{aligned}}$

par la formule

${\frac {(\operatorname {tang} h\operatorname {tang} h'+\mathrm {A} \alpha -\mathrm {B} \beta ){\sqrt {1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}{(\operatorname {tang} h+\alpha \cos g-\beta \sin g)(\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g')}}.$

8. Je remarque maintenant que, si l’intervalle entre les deux obser-