Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/480

or ces équations se changent en celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {x}{y}}=&{\frac {l{\cfrac {x}{y}}+m+{\cfrac {n}{y}}}{\left(\mathrm {L} {\cfrac {x}{y}}+\mathrm {M} +{\cfrac {\mathrm {N} }{y}}\right)^{2}}},\\{\frac {x}{y}}=&{\frac {p{\cfrac {x}{y}}+q+{\cfrac {r}{y}}}{\left(\mathrm {P} {\cfrac {x}{y}}+\mathrm {Q} +{\cfrac {\mathrm {R} }{y}}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

savoir, en faisant ${\frac {x}{y}}=t,\ {\frac {1}{y}}=u,$

${\begin{aligned}t=&{\frac {lt+m+nu}{(\mathrm {L} t+\mathrm {M} +\mathrm {N} u)^{2}}},\\t=&{\frac {pt+q+ru}{(\mathrm {P} t+\mathrm {Q} +\mathrm {R} u)^{2}}}.\end{aligned}}$

Qu’on suppose de plus

$\mathrm {L} t+\mathrm {M} +\mathrm {N} u=z,$

on aura

$u={\frac {z-\mathrm {L} t-\mathrm {M} }{\mathrm {N} }},$

et, faisant cette substitution dans les équations précédentes, elles prendront cette forme

${\begin{aligned}t=&{\frac {l't+m'+n'u}{z^{2}}},\\t=&{\frac {p't+q'+r'u}{(\mathrm {P} 't+\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'u)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

la première donne sur-le-champ

$t={\frac {m'+n'z}{z^{2}-l'}},$

et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on aura cette équation finale en $z,$

${\frac {m'+n'z}{z^{2}-l'}}={\frac {p'(m'+n'z)(z^{2}-l')+(q'+r'z)(z^{2}-l')}{\left[\mathrm {P} '(\mathrm {M'+N'} z)+(\mathrm {Q'+R'} z)(z^{2}-l')\right]^{2}}},$